Question

（2009•河北區(qū)二模）如圖所示，桶1中的水按一定規(guī)律流入桶2中，已知開(kāi)始時(shí)桶1中有a升水，桶2是空的，t分鐘后桶1中剩余的水符合指數(shù)衰減曲線y1=ae-nt（其中n是常數(shù)，e是自對(duì)數(shù)的底數(shù)）．假設(shè)在經(jīng)過(guò)5分鐘時(shí)，桶1和桶2中的水恰好相等．求：
（Ⅰ）桶2中的水y₂與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式；
（Ⅱ）再過(guò)多少分鐘，桶1中的水是

a

8

？

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)桶2中的水是從桶1中流出的水，而桶1開(kāi)始的水是a，滿足y1=ae-nt，可得桶2中的水與t的函數(shù)關(guān)系式；
（Ⅱ）利用經(jīng)過(guò)5分鐘時(shí)，桶1和桶2中的水恰好相等，求出桶1中剩余的水的函數(shù)解析式，從而進(jìn)一步可得方程，即可求得結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）∵桶2中的水是從桶1中流出的水，而桶1開(kāi)始的水是a，又滿足y1=ae-nt，
∴桶2中的水與t的函數(shù)關(guān)系式是y2=a-ae-nt．  …（4分）
（Ⅱ）∵t=5時(shí)，y₁=y₂，∴ae^-5n=a-ae^-5n
解得2e^-5n=1，n=

1

5

ln2．
∴y1=ae

ln2

5

t．…（8分）
當(dāng)y1=

a

8

時(shí)，有

a

8

=ae

ln2

5

t，解得t=15分鐘．
所以，再過(guò)10分鐘桶1中的水是

a

8

．  …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)模型的建立，考查學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，屬于中檔題．