Question

已知二項式(2x+

1

x

)n的展開式中各項系數(shù)和為729，則展開式中的常數(shù)項為

60

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，將x=1代入(2x+

1

x

)n中，可得3ⁿ=729，解可得n的值，結(jié)合二項式定理可得（2x+

1

x

）⁶展開式的通項，令x的指數(shù)為0，可得r的值，進而將r的值代入通項，可得其展開式的常數(shù)項，即可得答案．

解答：解：在(2x+

1

x

)n中，令x=1可得，其展開式中各項系數(shù)和為3ⁿ，
結(jié)合題意，可得3ⁿ=729，
解可得n=6，
則（2x+

1

x

）⁶展開式的通項為T_r+1=C₆^r•（2x）^6-r•（

1

x

）^r=C₆^r•2^6-r•x

12-3r

2

；
若

12-3r

2

=0，解可得，r=4；
則有T₅=C₆⁴•2²=60，即其常數(shù)項為60；
故答案為60．

點評：本題考查二項式系數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題干中“展開式中各項系數(shù)和為3ⁿ”，用特殊值法，求出n的值．