Question

已知異面直線(xiàn)a⊥b，過(guò)定點(diǎn)P作直線(xiàn)c，使a與c、b與c所成的角都等于定值φ（45°＜φ＜90°），這樣直線(xiàn)c共有（　　）條．

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：如圖所示，過(guò)點(diǎn)P分別作PM∥a，PN∥b，三點(diǎn)PMN確定平面α．過(guò)點(diǎn)P作PO平分∠MPN．過(guò)PO作矩形ABPD⊥平面MPN．
過(guò)點(diǎn)D分別作DM⊥PM，DN⊥PN，垂足分別為M，N．連接AM，AN，則PM⊥AM，PN⊥AN，∠APM=∠APN．則直線(xiàn)PA滿(mǎn)足條件，同理可找出另一條直線(xiàn)PA′．

解答：解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)P分別作PM∥a，PN∥b，三點(diǎn)PMN確定平面α，
過(guò)點(diǎn)P作PO平分∠MPN．過(guò)PO作矩形ABPD⊥平面MPN．
過(guò)點(diǎn)D分別作DM⊥PM，DN⊥PN，垂足分別為M，N．連接AM，AN，則PM⊥AM，PN⊥AN，
∠APM=∠APN．
則PM=DM，AM=

DM2+AD2

＞DM=PM，可得90°＞∠APM＞45°．取直線(xiàn)PA為c滿(mǎn)足條件，∠APM=∠APN=φ．
同理取點(diǎn)A′與點(diǎn)A關(guān)于平面PMN對(duì)稱(chēng)，則直線(xiàn)PA′也滿(mǎn)足條件．
只有兩條直線(xiàn)c滿(mǎn)足條件．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用線(xiàn)面垂直、三垂線(xiàn)定理、異面直線(xiàn)所成的角、直角三角形的邊角關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于難題．