數(shù)列{xn}由下列條件確定:x1=a>0,xn+1=
1
2
(xn+
a
xn
)
,n∈N.
(Ⅰ)證明:對n≥2,總有xn
a
;
(Ⅱ)證明:對n≥2,總有xn≥xn+1;
(Ⅲ)若數(shù)列{xn}的極限存在,且大于零,求
lim
n→∞
xn的值.
證明:(Ⅰ)由x1=a>0,及xn+1=
1
2
(xn+
a
xn
)
,
可歸納證明xn>0.
從而有xn+1=
1
2
(xn+
a
xn
)≥
xn
a
xn
=
a
(n∈N),
所以,當(dāng)n≥2時(shí),xn
a
成立.
(Ⅱ)證法一:當(dāng)n≥2時(shí),
因?yàn)閤n
a
>0,xn+1=
1
2
(xn+
a
xn
)

所以xn+1-xn=
1
2
(xn+
a
xn
)-xn=
1
2
a-
x2n
xn
≤0,
故當(dāng)n≥2時(shí),xn≥xn+1成立.
證法二:當(dāng)n≥2時(shí),因?yàn)閤n
a
>0,xn+1=
1
2
(xn+
a
xn
)

所以
xn+1
xn
=
1
2
(xn+
a
xn
)
xn
=
x2n
+a
2
x2n
x2n
+
x2n
2
x2n
=1,
故當(dāng)n≥2時(shí),xn≥xn+1成立.
(Ⅲ)記
lim
n→∞
xn=A,則
lim
n→∞
xn+1=A,且A>0.
由xn+1=
1
2
(xn+
a
xn
)
,得A=
1
2
(A+
a
A
)

由A>0,解得A=
a
,故
lim
n→∞
xn=
a
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

已知數(shù)列的通項(xiàng)an=-5n+2,其前n項(xiàng)和為Sn,則
lim
n→∞
Sn
n2
=______.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:上海模擬 題型:解答題

已知等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1,公比為x(x>0),其前n項(xiàng)和為Sn
(1)求函數(shù)f(x)=
lim
n→+∞
Sn
Sn+1
的解析式;
(2)解不等式f(x)>
10-3x
8

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:金山區(qū)一模 題型:填空題

正數(shù)數(shù)列{an}中,對于任意n∈N*,an是方程(n2+n)x2+(n2+n-1)x-1=0的根,Sn是正數(shù)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,則
lim
n→∞
Sn
=______.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:崇文區(qū)一模 題型:填空題

若(1+2x7展開式的第三項(xiàng)為168,則
lim
n→∞
(
1
x
+
1
x2
+…+
1
xn
)
= .

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

若函數(shù)f(x)=log2(x-1),an=f-1(n),數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,則
lim
x→∞
Sn-n
an
等于( 。
A.0B.
1
2
C.1D.2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:長寧區(qū)一模 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=kx+m,當(dāng)x∈[a1,b1]時(shí),f(x)的值域?yàn)閇a2,b2],當(dāng)x∈[a2,b2]時(shí),f(x)的值域?yàn)閇a3,b3],…,依此類推,一般地,當(dāng)x∈[an-1,bn-1]時(shí),f(x)的值域?yàn)閇an,bn],其中k、m為常數(shù),且a1=0,b1=1.
(1)若k=1,求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)若m=2,問是否存在常數(shù)k>0,使得數(shù)列{bn}滿足
lim
n→∞
bn=4
.若存在,求k的值;若不存在,請說明理由;
(3)若k<0,設(shè)數(shù)列{an},{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn,Tn,求(T1+T2+…+T2010)-(S1+S2+…+S2010).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:期末題 題型:解答題

定義x1,x2,…,xn的“倒平均數(shù)”為(n∈N*).已知數(shù)列{an}前n項(xiàng)的“倒平均數(shù)”為,記cn=(n∈N*).
(1)比較cn與c n+1的大小;
(2)設(shè)函數(shù)f(x)=﹣x2+4x,對(1)中的數(shù)列{cn},是否存在實(shí)數(shù)λ,使得當(dāng)x≤λ時(shí),f(x)≤cn對任意n∈N*恒成立?若存在,求出最大的實(shí)數(shù)λ;若不存在,說明理由.
(3)設(shè)數(shù)列{bn}滿足b1=1,b2=b(b∈R且b≠0),bn=|bn﹣1﹣bn﹣2|(n∈N*且n≥3),且{bn}是周期為3的周期數(shù)列,設(shè)Tn為{bn}前n項(xiàng)的“倒平均數(shù)”,求Tn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:廣東省模擬題 題型:填空題

在等比數(shù)列{an} 中,已知a1=,a3a4=﹣108,則++…+)=(    )

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同步練習(xí)冊答案