Question

利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

n+n

＞

13

14

時(shí)，由k遞推到k+1時(shí)，左邊應(yīng)添加的因式為（　　）

• A．

  1

  2(k+1)

• B．

  1

  2k+1

  +

  1

  2(k+1)

• C．

  1

  2k+1

  -

  1

  2(k+1)

• D．

  1

  2k+1

Answer 1

分析：只須求出當(dāng)n=k時(shí)，左邊的代數(shù)式，當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊的代數(shù)式，相減可得結(jié)果．

解答：解：當(dāng)n=k時(shí)，左邊的代數(shù)式為

1

k+1

+

1

k+2

+… +

1

k+k

，
 當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊的代數(shù)式為 

1

k+2

+

1

k+3

+… +

1

k+k

+

1

2k+1

+

1

2k+2

，
故用n=k+1時(shí)左邊的代數(shù)式減去n=k時(shí)左邊的代數(shù)式的結(jié)果為：

1

2k+1

+

1

2k+2

-

1

k+1

=

1

2k+1

-

1

2(k+1)

，
故選：C．

點(diǎn)評：數(shù)學(xué)歸納法常常用來證明一個(gè)與自然數(shù)集N相關(guān)的性質(zhì)，其步驟為：設(shè)P（n）是關(guān)于自然數(shù)n的命題，若1）（奠基） P（n）在n=1時(shí)成立；2）（歸納） 在P（k）（k為任意自然數(shù)）成立的假設(shè)下可以推出P（k+1）成立，則P（n）對一切自然數(shù)n都成立．