Question

（1）已知a，b，c為兩兩不相等的實(shí)數(shù)，求證：a²+b²+c²＞ab+bc+ca；
（2）設(shè)a，b，c∈（0，+∞），且a+b+c=1，求證(

1

a

-1)(

1

b

-1)(

1

c

-1)≥8．

Answer 1

分析：（1）利用分析法，從結(jié)果入手，再利用配方法，即可證得結(jié)論；
（2）利用“1”的代換，再利用基本不等式，即可得到結(jié)論．

解答：證明：（1）要證a²+b²+c²＞ab+bc+ca，只需證2（a²+b²+c²）＞2（ab+bc+ca）
即證（a+b）²+（b+c）²+（a+c）²＞0，
因?yàn)閍，b，c是不全相等的實(shí)數(shù)，所以（a+b）²＞0，（b+c）²＞0，（a+c）²＞0，
所以（a+b）²+（b+c）²+（a+c）²＞0顯然成立．
所以a²+b²+c²＞ab+bc+ca；
（2）∵a、b、c∈（0，+∞）且a+b+c=1，
∴(

1

a

-1)(

1

b

-1)(

1

c

-1)=

b+c

a

•

a+c

b

•

a+b

c

≥

2 bc

a

•

2 ac

b

•

2 ab

c

=8
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=

1

3

時(shí)等號(hào)成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的證明，考查分析法、綜合法的運(yùn)用，考查基本不等式，正確運(yùn)用分析法是解題的關(guān)鍵．