Question

（2013•牡丹江一模）《選修4-5：不等式選講》
已知函數(shù)．f（x）=|2x+1|+|2x-3|
（1）求不等式f（x）≤6的解集；
（2）若關(guān)于x的不等式f（x）＜|a-1|的解集非空，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由不等式f（x）≤6 可得 ①

x＜- 1 2 -2x-1+3-2x≤6

，或②

- 1 2 ≤x＜ 3 2 2x+1+3-2x≤6

，或③

x≥ 3 2 2x+1+2x-3≤6

．分別求得①、②、③的解集，再取并集，即得所求．
（2）由題意可得|a-1|應(yīng)大于函數(shù)f（x）=|2x+1|+|2x-3|的最小值，而由絕對值的意義可得f（x）的最小值為4，故有|a-1|＞4，由此求得實數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）不等式f（x）≤6  即|2x+1|+|2x-3|≤6，∴①

x＜- 1 2 -2x-1+3-2x≤6

，
或 ②

- 1 2 ≤x＜ 3 2 2x+1+3-2x≤6

，或  ③

x≥ 3 2 2x+1+2x-3≤6

．
解①可得-1≤x＜-

1

2

，解②可得-

1

2

≤x＜

3

2

，解③可得

3

2

≤x≤2．
綜上可得，不等式的解集為 {x|-1≤x≤2}．
（2）∵關(guān)于x的不等式f（x）＜|a-1|的解集非空，∴|a-1|應(yīng)大于函數(shù)f（x）=|2x+1|+|2x-3|的最小值．
而由絕對值的意義可得，f（x）表示數(shù)軸上的x對應(yīng)點到-

1

2

和

3

2

對應(yīng)點的距離之和的2倍，
故函數(shù)f（x）的最小值為2×2=4，
故有|a-1|＞4，化簡可得 a-1＞4，或a-1＜-4，解得 a＞5，或a＜-3，
故實數(shù)a的取值范圍為 { a|a＞5，或a＜-3}．

點評：本題主要考查絕對值的意義，絕對值不等式的解法，關(guān)鍵是去掉絕對值，化為與之等價的不等式組來解，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．