【題目】如圖,長途車站P與地鐵站O的距離為千米,從地鐵站O出發(fā)有兩條道路l1,l2,經(jīng)測量,l1,l2的夾角為45°,OP與l1的夾角滿足tan=(其中0<θ<),現(xiàn)要經(jīng)過P修條直路分別與道路l1,l2交匯于A,B兩點,并在A,B處設(shè)立公共自行車停放點.
(1)已知修建道路PA,PB的單位造價分別為2m元/千米和m元/千米,若兩段道路的總造價相等,求此時點A,B之間的距離;
(2)考慮環(huán)境因素,需要對OA,OB段道路進(jìn)行翻修,OA,OB段的翻修單價分別為n元/千米和n元/千米,要使兩段道路的翻修總價最少,試確定A,B點的位置.
【答案】(1)(2)要使OA,OB段道路的翻修總價最少,A位于距O點3千米處,B位于距點千米處.
【解析】
(1)以O為原點,直線OA為x軸建立平面直角坐標(biāo)系,得到的方程,進(jìn)而求得點P的坐標(biāo),
法一:由題意得,求得B點的縱坐標(biāo)為3,進(jìn)而得到點的坐標(biāo),即可得到答案。
法二:由題意得2mPA=mPB,求得,根據(jù)向量相等,求得點的坐標(biāo),即可求解。
(2)法一:由題意,得到造價的表達(dá)式,設(shè),得到要使S最小,只要y最小,分類討論,即可求解。
法二:作交OB于M,交y軸于點Q,作交OA于N,求得OQ=1,進(jìn)而得到總造價,設(shè),要使S最小,只要y最小,即可求解。
以O為原點,直線OA為x軸建立平面直角坐標(biāo)系,
因為,所以,
設(shè)P(2t,t),由OP=,得t=1,所以P(2,1)
法一:由題意得,所以BP=2PA,所以B點的縱坐標(biāo)為3,
有因為點B在直線上,所以B(3,3)
所以.
法二:由題意得2mPA=mPB,所以.
設(shè)A(a,0)(a>0),又點B在射線y=x(x>0)上,所以可設(shè)B(b,b)(b>0),
由,得所以
所以.
答:A,B之間的距離為千米.
(2)法一:設(shè)總造價為S.則
設(shè),要使S最小,只要y最小
當(dāng)軸時,A(2,0),這時OA=2,,
所以.
當(dāng)AB與x軸不垂直時,設(shè)直線AB方程為,
令y=0,得點A的橫坐標(biāo)為,所以,
令x=y,得點B的橫坐標(biāo)為,
因為且,所以k<0或k>1,
此時,
,
當(dāng)k<0時,y在上遞減,在(-1,0)上遞增,
所以,此時;
當(dāng)k>1時,
綜上所述,要使OA,OB段道路的翻修總價最少,A位于距O點3千米處,B位于距點千米處.
法二:如圖,作交OB于M,交y軸于點Q
作交OA于N,困為P(2,1),所以O(shè)Q=1
又因為∠BOQ=45°,所以,
所以,
由,得,
所以,
設(shè)總造價為S,則,
設(shè),要使S最小,只要y最小.
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,此時.
答:要使OA,OB段道路的翻修總價最少,位于距O點3千米處,B位于距O點千米處.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)面B1BCC1是正方形,M,N分別是A1B1,AC的中點,AB⊥平面BCM.
(Ⅰ)求證:平面B1BCC1⊥平面A1ABB1;
(Ⅱ)求證:A1N∥平面BCM;
(Ⅲ)若三棱柱ABC-A1B1C1的體積為10,求棱錐C1-BB1M的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),則以下結(jié)論正確的是( )
A.函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是
B.函數(shù)有且只有1個零點
C.存在正實數(shù),使得成立
D.對任意兩個正實數(shù),,且,若則
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】近年,國家逐步推行全新的高考制度.新高考不再分文理科.山東省采用3+3模式,其中語文、數(shù)學(xué)、外語三科為必考科目,每門科目滿分均為150分.另外考生還要依據(jù)想考取的高校及專業(yè)的要求,結(jié)合自己的興趣愛好等因素,在思想政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物6門科目中自選3門參加考試(6選3),每門科目滿分均為100分.為了應(yīng)對新高考,某高中從高一年級1100名學(xué)生(其中男生600人,女生500人)中,采用分層抽樣的方法從中抽取n名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,其中女生抽取50人.
(1)求n的值;
(2)學(xué)校計劃在高一上學(xué)期開設(shè)選修中的“物理”和“地理”兩個科目,為了了解學(xué)生對這兩個科目的選課情況,對抽取到的n名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查(假定每名學(xué)生在“物理”和“地理”這兩個科目中必須選擇一個科目且只能選擇一個科目).下表是根據(jù)調(diào)查結(jié)果得到的一個不完整的2×2列聯(lián)表,請將下面的2×2列聯(lián)表補(bǔ)充完整,并判斷是否有99%的把握認(rèn)為選擇科目與性別有關(guān)?說明你的理由;
選擇“物理” | 選擇“地理” | 總計 | |
男生 | 10 | ||
女生 | 30 | ||
合計 |
(3)按(2)中選“物理”的男生女生的比例進(jìn)行分層抽樣,從選“物理”的學(xué)生中抽出8名學(xué)生,再從這8名學(xué)生中抽取3人組成物理興趣小組,設(shè)這3人中女生的人數(shù)為X,求X的概率分布列及數(shù)學(xué)期望.
附
0.05 | 0.01 | 0.005 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2020年春節(jié)前后,一場突如其來的新冠肺炎疫情在全國蔓延.疫情就是命令,防控就是責(zé)任.在黨中央的堅強(qiáng)領(lǐng)導(dǎo)和統(tǒng)一指揮下,全國人民眾志成城、團(tuán)結(jié)一心,掀起了一場堅決打贏疫情防控阻擊戰(zhàn)的人民戰(zhàn)爭.下圖表展示了2月14日至29日全國新冠肺炎疫情變化情況,根據(jù)該折線圖,下列結(jié)論正確的是( )
A.16天中每日新增確診病例數(shù)量呈下降趨勢且19日的降幅最大
B.16天中每日新增確診病例的中位數(shù)小于新增疑似病例的中位數(shù)
C.16天中新增確診、新增疑似、新增治愈病例的極差均大于2000
D.19日至29日每日新增治愈病例數(shù)量均大于新增確診與新增疑似病例之和
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】學(xué)校藝術(shù)節(jié)對四件參賽作品只評一件一等獎,在評獎揭曉前,甲,乙,丙,丁四位同學(xué)對這四件參賽作品預(yù)測如下:
甲說:“是或作品獲得一等獎”; 乙說:“ 作品獲得一等獎”;
丙說:“ 兩件作品未獲得一等獎”; 丁說:“是作品獲得一等獎”.
評獎揭曉后,發(fā)現(xiàn)這四位同學(xué)中只有兩位說的話是對的,則獲得一等獎的作品是_________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2018年為我國改革開放40周年,某事業(yè)單位共有職工600人,其年齡與人數(shù)分布表如下:
年齡段 | ||||
人數(shù)(單位:人) | 180 | 180 | 160 | 80 |
約定:此單位45歲~59歲為中年人,其余為青年人,現(xiàn)按照分層抽樣抽取30人作為全市慶祝晚會的觀眾.
(1)抽出的青年觀眾與中年觀眾分別為多少人?
(2)若所抽取出的青年觀眾與中年觀眾中分別有12人和5人不熱衷關(guān)心民生大事,其余人熱衷關(guān)心民生大事.完成下列列聯(lián)表,并回答能否有的把握認(rèn)為年齡層與熱衷關(guān)心民生大事有關(guān)?
熱衷關(guān)心民生大事 | 不熱衷關(guān)心民生大事 | 總計 | |
青年 | 12 | ||
中年 | 5 | ||
總計 | 30 |
(3)若從熱衷關(guān)心民生大事的青年觀眾(其中1人擅長歌舞,3人擅長樂器)中,隨機(jī)抽取2人上表演節(jié)目,則抽出的2人能勝任才藝表演的概率是多少?
0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
.
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