(I)求函數(shù)f(x)=log3(1+x)+
3-4x
的定義域;
(2)判斷并證明函數(shù)f(x)=x+
4
x
的奇偶性
(3)證明函數(shù) f(x)=x+
4
x
 在x∈[2,+∞)上是增函數(shù),并求f(x)在[4,8]上的值域.
分析:(1)由
1+x>0
3-4x≥0
可求得其定義域;
(2)由奇函數(shù)的定義f(-x)=-x-
4
x
=-(x+
4
x
)=-f(x),可判斷f(x)為奇函數(shù);
(3)利用單調(diào)函數(shù)的定義,設(shè)2<x1<x2,作差f(x1)-f(x2)化積判斷符號即可.
解答:解:(Ⅰ)由
1+x>0
3-4x≥0
得-1<x≤
3
4
,
∴求函數(shù)f(x)=log3(1+x)+
3-4x
的定義域?yàn)椋簕  x|-1<x≤
3
4
}-----(3分)
(2)f(x)=x+
4
x
為奇函數(shù)---------(4分)
證明:∵f(-x)=-x-
4
x
=-(x+
4
x
)=-f(x),
∴f(x)=x+
4
x
為奇函數(shù).---------(5分)
(3)證明:設(shè)2<x1<x2
f(x1)-f(x2)=x1+
4
x1
-x2-
4
x2

=x1-x2-
4(x1-x2
x1x2

=(x1-x2)(1-
4
x1x2
)…(2分)
∵2<x1<x2
∴x1-x2<0,x1x2>4,即0<
4
x1x2
<1.
∴1-
4
x1x2
>0,
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2);
∴f(x)是增函數(shù).
由(1)知f(x)在[4,8]上是增函數(shù)…(6分)
∴f(x)max=f(8)=
17
2
,f(x)min=f(4)=5.
∴f(x)在[4,8]上的值域?yàn)閇5,
17
2
].(8分)
點(diǎn)評:本題考查奇偶性與單調(diào)性的綜合,著重考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的定義及其應(yīng)用,突出轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用,屬于中檔題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=sin2x+xcosx+2cos2x,xR.

(I)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間;

(Ⅱ)函數(shù)f(x)的圖象可以由函數(shù)y=sin2x(x∈R)的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)(其中

    (I)求函數(shù)f(x)的反函數(shù)

    (II)設(shè),求函數(shù)g(x)最小值及相應(yīng)的x值;

    (III)若不等式對于區(qū)間上的每一個(gè)x值都成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

 

 (本小題共12分)

  已知函數(shù)。

  (I)求函數(shù)f(x)的最小正周期;

  (II)當(dāng)時(shí),求函數(shù)f(x)的最大值、最小值。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)(天津卷解析版) 題型:解答題

已知函數(shù)其中a>0.

(I)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(II)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(-2,0)內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍;

(III)當(dāng)a=1時(shí),設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[t,t+3]上的最大值為M(t),最小值為m(t),記g(t)=M(t)-m(t),求函數(shù)g(t)在區(qū)間[-3,-1]上的最小值。

【考點(diǎn)定位】本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的零點(diǎn),函數(shù)的最值等基礎(chǔ)知識.考查函數(shù)思想、分類討論思想.考查綜合分析和解決問題的能力.

 

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