如圖,橢圓G的中心在坐標(biāo)原點,其中一個焦點為圓F:x2+y2-2x=0的圓心,右頂點是圓F與x軸的一個交點.已知橢圓G與直線l:x-my-1=0相交于A、B兩點.
(I)求橢圓的方程;
(Ⅱ)求△AOB面積為
3
3
5
時,求直線l的方程.
分析:(I)設(shè)橢圓方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
,圓F的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+y2=1,圓心為F(1,0),圓與x軸的交點為(0,0)和(2,0),由題意a=2,半焦距c=1,由此能求出橢圓方程.
(Ⅱ)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由
x2
4
+
y2
3
=1
x-my-1=0
,得(3m2+4)y2+6my-9=0,所以|y1-y2|=
12
m2+1
3m2+4
,故S△AOB=
1
2
•|OF|•|y1-y2|=
6
m2+1
3m2+4
,由△AOB面積為
3
3
5
能求出直線l的方程.
解答:解:(I)設(shè)橢圓方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
,
圓F的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+y2=1,
圓心為F(1,0),圓與x軸的交點為(0,0)和(2,0),
由題意a=2,半焦距c=1,
∴b2=a2-c2=4-1=3,
∴橢圓方程為
x2
4
+
y2
3
=1

(Ⅱ)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
x2
4
+
y2
3
=1
x-my-1=0
,得(3m2+4)y2+6my-9=0,
y1+y2 =
-6m
3m2+4
,y1y2=
-9
3m2+4
,
∴|y1-y2|=
36m2
(3m2+4)2
+
36
3m2+4

=
12
m2+1
3m2+4
,
S△AOB=
1
2
•|OF|•|y1-y2|=
6
m2+1
3m2+4
,
∵△AOB面積為
3
3
5
,∴
6
m2+1
3m2+4
=
3
3
5

4(m2+1)
(3m2+4)2
=
3
25
,
整理,得27m4-28m2-52=0,
△=282+4×27×52=42×400,
m2=
28±
42×400
2×27
=
14±40
27
,
∴m2=2,或m2=-
26
27
(舍),∴m=±
2
,
∴直線l的方程為
2
y+1=0
點評:本題考查橢圓方程和直線方程的求法,解題時要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,注意根的判別式、韋達(dá)定理、圓的簡單性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系等知識點的合理運用.
練習(xí)冊系列答案
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如圖,橢圓G的中心在坐標(biāo)原點,其中一個焦點為圓F:x2+y2-2x=0的圓心,右頂點是圓F與x軸的一個交點.已知橢圓G與直線l:x-my-1=0相交于A、B兩點.
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(I)求橢圓的方程;
(Ⅱ)求△AOB面積為數(shù)學(xué)公式時,求直線l的方程.

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如圖,橢圓G的中心在坐標(biāo)原點,其中一個焦點為圓F:x2+y2-2x=0的圓心,右頂點是圓F與x軸的一個交點.已知橢圓G與直線l:x-my-1=0相交于A、B兩點.
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