【題目】如圖,在四棱臺ABCD﹣A1B1C1D1中,底面ABCD為平行四邊形,∠BAD=120°,M為CD上的點(diǎn).且∠A1AB=∠A1AD=90°,AD=A1A=2,A1B1=DM=1.
(1)求證:AM⊥A1B;
(2)若M為CD的中點(diǎn),N為棱DD1上的點(diǎn),且MN與平面A1BD所成角的正弦值為 ,試求DN的長.

【答案】
(1)證明:在平行四邊形ABCD中,∠BAD=120°,∴∠ADM=60°,

在△ADM中,AD=2,DM=1,∴ =

可得AD2=AM2+DM2,∴AM⊥CD.

又CD∥AB,∴AM⊥AB,

∵∠A1AB=∠A1AD=90°,∴A1A⊥AB,A1A⊥AD.

又∵AB∩AD=A,AB,AD平面ABCD,

∴AA1⊥ABCD,又AM平面ABCD,

∴AM⊥AA1.又∵AB∩AA1=A,AB,AA1平面AA1B1B,

∴AM⊥平面AA1B1B.又∵A1B平面AA1B1B,

∴AM⊥A1B


(2)解:∵M(jìn)為CD的中點(diǎn),DM=1,∴CD=2,

所以四邊形ABCD為菱形.

分別以AB,AM,AA1為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz,

則點(diǎn)

設(shè)平面A1BD的一個法向量為 ,則有 ,

,令x=1,則

設(shè) ,∴ ,

,

,∴2λ2﹣13λ+6=0,

或λ=6(舍去).


【解析】(1)利用勾股定理逆定理得出AM⊥CD,即AM⊥AB,結(jié)合AM⊥AA1得出AM⊥平面AA1B1B,于是AM⊥A1B;(2)建立空間坐標(biāo)系,根據(jù)MN與平面A1BD所成角的大小確定N點(diǎn)位置,從而得出DN的長.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了直線與平面垂直的性質(zhì)的相關(guān)知識點(diǎn),需要掌握垂直于同一個平面的兩條直線平行才能正確解答此題.

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2 4 8 14 22 32 …

6 10 16 24 34 … …

12 18 26 36 … … …

20 28 38 … … … …

30 40 … … … … …

42 … … … … … …

… … … … … … …

則第20行第4列的數(shù)為( )

A. 546 B. 540 C. 592 D. 598

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(1)求橢圓C的內(nèi)接矩形PMNQ面積的最大值;
(2)若直線l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),求|FA||FB|的值.

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A.2
B.3
C.4
D.5

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1)求的值;

2)假設(shè)網(wǎng)校的員工工資,辦公等所有開銷折合為每套題2元(只考慮銷售出的套數(shù)),試確定銷售價格的值,使網(wǎng)校每日銷售套題所獲得的利潤最大.(保留1位小數(shù))

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