Question

以下五個(gè)命題中：
①若兩直線平行，則兩直線斜率相等；
②設(shè)F₁、F₂為兩個(gè)定點(diǎn)，a為正常數(shù)，且||PF₁|-|PF₂||=2a，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線；
③方程2x²-5x+2=0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；
④對(duì)任意實(shí)數(shù)k，直線l：kx-y+1-k=0與圓x²+y²-2y-4=0的位置關(guān)系是相交；
⑤P為橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上一點(diǎn)，F(xiàn)為它的一個(gè)焦點(diǎn)，則以PF為直徑的圓與以長(zhǎng)軸為直徑的圓相切．
其中真命題的序號(hào)為

③④⑤

．（寫出所有真命題的序號(hào)）

Answer 1

分析：①根據(jù)直線平行和斜率之間的關(guān)系分別判斷即可；
②根據(jù)雙曲線的定義知②不正確；
③解方程知兩根，一根＞0作雙曲線的離心率，一根＜0作橢圓的離心率，判定③正確；
④將（K+1）x-Ky-1=0轉(zhuǎn)化為：K（x-y）+x-1=0，從而直線過定點(diǎn)（1，1），再由1²+1²-2×1-2×1-2＜0知點(diǎn)（1，1）在圓的內(nèi)部得到結(jié)論；
⑤利用橢圓的定義，可得以PF為直徑的圓與以橢圓長(zhǎng)軸為直徑的圓內(nèi)切，從而可得結(jié)論．

解答：解：①若兩直線斜率相等，則兩直線平行或重合，故①錯(cuò)誤；
②設(shè)F₁、F₂為兩個(gè)定點(diǎn)，a為正常數(shù)，且||PF₁|-|PF₂||=2a＜|F₁F₂|，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線，
故②錯(cuò)誤；
③方程2x²-5x+2=0的兩根是2和

1

2

，2可作為雙曲線的離心率，

1

2

可作為橢圓的離心率，
故③正確；
④∵kx-y+1-k=0可化為：K（x-1）+（-y+1）=0
∴過定點(diǎn)（1，1）而1²+1²-2×1-4＜0
∴點(diǎn)（1，1）在圓x²+y²-2y-4=0的內(nèi)部，∴直線與圓相交，
故④正確；
⑤利用橢圓的定義，可得以PF為直徑的圓與以橢圓長(zhǎng)軸為直徑的圓內(nèi)切
設(shè)PF的中點(diǎn)為C，則OC=

2a-PF

2

=a-

PF

2

，
∴以PF為直徑的動(dòng)圓內(nèi)切于一個(gè)定圓E，圓心為（0，0），半徑為半長(zhǎng)軸長(zhǎng)，
故⑤正確．
故答案為：③④⑤

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線平行和斜率之間的關(guān)系，橢圓與雙曲線的定義和離心率、直線與圓的位置關(guān)系，圓與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．