【題目】已知函數(shù)f（x）= x3﹣2ax2+3x（x∈R）．
（1）若a=1，點(diǎn)P為曲線y=f（x）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求以點(diǎn)P為切點(diǎn)的切線斜率取最小值時(shí)的切線方程；
（2）若函數(shù)y=f（x）在（0，+∞）上為單調(diào)增函數(shù)，試求滿足條件的最大整數(shù)a．

【答案】
（1）解：設(shè)切線的斜率為k，則k=f′（x）=2x2﹣4x+3=2（x﹣1）2+1，當(dāng)x=1時(shí)，kmin=1．

把a(bǔ)=1代入到f（x）中得：f（x）= x3﹣2x2+3x，所以f（1）= ﹣2+3= ，即切點(diǎn)坐標(biāo)為（1， ）

∴所求切線的方程為y﹣ =x﹣1，即3x﹣3y+2=0


（2）解：f′（x）=2x2﹣4ax+3，因?yàn)閥=f（x）為單調(diào)遞增函數(shù)，則對(duì)任意的x∈（0，+∞），恒有f′（x）＞0，

f′（x）=2x2﹣4ax+3＞0，

∴a＜ = + ，而 + ≥ ，當(dāng)且僅當(dāng)x= 時(shí)，等號(hào)成立．

所以a＜ ，則所求滿足條件的最大整數(shù)a值為1


【解析】（1）設(shè)出切線的斜率k，得到k等于f′（x）并把a(bǔ)=1代入到f（x）中求出解析式，根據(jù)二次函數(shù)求最小值的方法，求出k的最小值，然后把x=1代入到f（x）中求出f（1）的值即可得到切點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)斜率和切點(diǎn)坐標(biāo)寫出切線方程即可；（2）求出f′（x），要使f（x）為單調(diào)遞增函數(shù)，必須滿足f'（x）＞0，即對(duì)任意的x∈（0，+∞），恒有f′（x）大于0，解出a小于一個(gè)關(guān)系式，利用基本不等式求出這個(gè)關(guān)系式的最小值，得到關(guān)于a的不等式，求出解集即可得到a的取值范圍，在范圍中找出滿足條件的最大整數(shù)即可．
【考點(diǎn)精析】掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解答本題的根本，需要知道一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】二次函數(shù)f（x）=ax2+2a是區(qū)間[﹣a，a2]上的偶函數(shù)，又g（x）=f（x﹣1），則g（0），g（ ），g（3）的大小關(guān)系是（ ）
A.g（ ）＜g（0）＜g（3）
B.g（0）＜g（ ）＜g（3）??
C.g（ ）＜g（3）＜g（0）
D.g（3）＜g（ ）＜g（0）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)．

（1）證明：PB∥平面AEC；
（2）設(shè)AP=1，AD= ，三棱錐P﹣ABD的體積V= ，求A到平面PBC的距離．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】

已知函數(shù)，．

（1）若曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，求的值；

（2）若存在極小值時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）當(dāng)時(shí)，如果存在兩個(gè)不相等的正數(shù)，使得，求證：．

請(qǐng)考生在第22、23兩題中任選一題作答．注意：只能做所選定的題目.如果多做，則按所做的第一個(gè)題目計(jì)分．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】

如圖，甲向如圖1所示的平面區(qū)域內(nèi)隨機(jī)擲點(diǎn)、乙向如圖2所示的平面區(qū)域內(nèi)隨機(jī)擲點(diǎn)，假設(shè)點(diǎn)落在區(qū)域內(nèi)任意一點(diǎn)的可能性相同．已知圖1中小圓的半徑是大圓半徑的二分之一，圖2中小正方形的頂點(diǎn)為大正方形各邊的中點(diǎn)．

（1）甲、乙各擲點(diǎn)一次，求至少有一人擲點(diǎn)落在陰影區(qū)域的概率；

（2）甲、乙各擲點(diǎn)兩次，記點(diǎn)落在陰影區(qū)域的次數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．

圖1圖2

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=x2﹣2|x|﹣3a
（1）當(dāng)a=1時(shí)，在所給坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)f（x）的圖象，并求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間
（2）若直線y=1與函數(shù)f（x）的圖象有4個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)在處的切線的斜率為1.

（1）如果常數(shù)，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；

（2）對(duì)于，如果方程在上有且只有一個(gè)解，求的值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）（x∈R）滿足f（﹣x）=2﹣f（x），若函數(shù)y= 與y=f（x）圖象的交點(diǎn)為（x1 ， y1），（x2 ， y2），…，（xm ， ym），則 （xi+yi）=（ ）
A.0
B.m
C.2m
D.4m

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知定義域?yàn)镽的函數(shù) ．
（1）用定義證明：f（x）為R上的奇函數(shù)；
（2）用定義證明：f（x）在R上為減函數(shù)；
（3）若對(duì)任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范圍．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案