Question

（本小題滿分14分）
如圖4，在三棱柱中，△是邊長為的等邊三角形，
平面，，分別是，的中點.

（1）求證：∥平面；
（2）若為上的動點，當與平面所成最大角的正切值為時，
求平面 與平面所成二面角（銳角）的余弦值.

Answer 1

（1）延長交的延長線于點，連接∵∥，且∴為的中點. ∴∥.∴∥平面（2）

試題分析：解法一：
（1）證明：延長交的延長線于點，連接.

∵∥，且，
∴為的中點.  
∵為的中點，
∴∥. 
∵平面，平面，
∴∥平面. 
（2）解：∵平面，平面，
∴.
∵△是邊長為的等邊三角形，是的中點，
∴，. 
∵平面，平面，，
∴平面.
∴為與平面所成的角.  
∵，
在Rt△中，，
∴當最短時，的值最大，則最大.
∴當時，最大. 此時，.
∴.
∵∥，平面，
∴平面.
∵平面，平面，
∴，.   
∴為平面 與平面所成二面角（銳角）.
在Rt△中，，.
∴平面 與平面所成二面角（銳角）的余弦值為.
解法二：
（1）證明：取的中點，連接、.

∵為的中點，
∴∥，且.
∵∥，且，
∴∥，.  
∴四邊形是平行四邊形.
∴∥.  
∵平面，平面，
∴∥平面.  
（2）解：∵平面，平面，
∴.
∵△是邊長為的等邊三角形，是的中點，
∴，.
∵平面，平面，，
∴平面.
∴為與平面所成的角. 
∵，
在Rt△中，，
∴當最短時，的值最大，則最大. 
∴當時，最大. 此時，.
∴.  
在Rt△中，.
∵Rt△～Rt△，
∴，即.
∴.  
以為原點，與垂直的直線為軸，所在的直線為軸，所在的直線為軸，
建立空間直角坐標系.
則，，，.
∴， ， .
設平面的法向量為，
由，，
得 
令，則.
∴平面的一個法向量為. 
∵平面， ∴是平面的一個法向量.
∴.   
∴平面 與平面所成二面角（銳角）的余弦值為. 
點評：立體幾何題目若能找到從同一點出發(fā)的三線兩兩垂直則一般采用空間向量的方法求解，并且向量法求解立體幾何問題是高考題目的方向。本題還考查了空間想象、推理論證、抽象概括和運算求解能力，以及化歸與轉化的數(shù)學思想方法