【題目】已知橢圓是大于的常數(shù))的左、右頂點分別為,點是橢圓上位于軸上方的動點,直線、與直線分別交于、兩點(設(shè)直線的斜率為正數(shù)).

Ⅰ)設(shè)直線的斜率分別為, ,求證為定值.

Ⅱ)求線段的長度的最小值.

Ⅲ)判斷存在點,使得是等邊三角形的什么條件?(直接寫出結(jié)果)

【答案】(Ⅰ)證明見解析;(Ⅱ) ;(Ⅲ)既不充分也不必要條件.

【解析】試題分析:

()由題意可得直線的斜率,直線的斜率,據(jù)此計算則有為定值

()結(jié)合點的坐標(biāo)求得MN的長度表達式,結(jié)合均值不等式的結(jié)論可得線段長度的最小值為

()結(jié)合圓錐曲線的性質(zhì)可知存在點,使得是等邊三角形的既不充分也不必要條件.

試題解析:

(Ⅰ)設(shè),則,即,

∴直線的斜率,直線的斜率,

為定值

(Ⅱ)直線方程為,∴點坐標(biāo),

直線方程為,∴點坐標(biāo),

故線段長度的最小值為

(Ⅲ)存在點,使得是等邊三角形的既不充分也不必要條件.

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