Question

已知平面內(nèi)的動點P到點F（1，0）的距離比到直線x=-2的距離小1．
（1）求點P的軌跡C的方程；
（2）若A、B為軌跡C上的兩點，已知FA⊥FB，且△FAB的面積S_△FAB=4，求直線AB的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）設動點P的坐標為（x，y），根據(jù)動點P到點F（1，0）的距離比到直線x=-2的距離小1．代入兩點之間距離公式，及點到直線的距離公式，化簡即可得到點P的軌跡C的方程；
（2）設直線AB的方程為x=ty+m，結(jié)合FA⊥FB，且△FAB的面積S_△FAB=4，我們可以構(gòu)造出關(guān)于m的方程，解方程求出m值，即可求出滿足條件的直線AB的方程．
解答：（1）設點P（x，y），根據(jù)題意得

當
兩邊平方化簡得y²=4x
當x＜-2時，則
又由
得x≥-1與x＜-2矛盾
故點P的軌跡C的方程為y²=4x．
（2）設直線AB的方程為x=ty+m
由得y²-4ty-4m=0
由△=16t²+16m＞0得t²+m＞0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則y₁+y₂=4t，y₁y₂=-4m
=（x₁-1，y₁），=（x₂-1，y₂）
由•=0，得x₁•x₂-（x₁+x₂）+1+y₁•y₂=0
又由x₁=t•y₁+m，x₂=t•y₂+m，得4t²=m²-6m+1
S_△ABF=|m-1|×4=|m-1|=|m-1|=（m-1）²，
由（m-1）²=4，解得m=-1，或m=3
將m=-1代入4t²=m²-6m+1得t²=2，
將m=3代入4t²=m²-6m+1得4t²=9-18+1=-8＜O不成立，
∴m=3不合是題意舍去
∴所求直線AB的方程為x±y+1=0
點評：本題考查的知識點是直線的一般式方程，拋物線的標準方程，直線與圓錐曲線的綜合問題，（1）中關(guān)鍵是根據(jù)已知，構(gòu)造關(guān)于動點P的方程，（2）的關(guān)鍵是“設而不求”+“聯(lián)立方程”+“韋達定理”．