【題目】在菱形中,,為線段的中點(如圖1).將沿折起到的位置,使得平面平面,為線段的中點(如圖2).
(Ⅰ)求證:;
(Ⅱ)求證:平面;
(Ⅲ)當(dāng)四棱錐的體積為時,求的值.
【答案】(Ⅰ)見解析. (Ⅱ)見解析. (Ⅲ) .
【解析】
(Ⅰ)證明OD'⊥AO. 推出OD'⊥平面ABCO. 然后證明OD'⊥BC.(Ⅱ)取P為線段AD'的中點,連接OP,PM;證明四邊形OCMP為平行四邊形,然后證明CM∥平面AOD';(Ⅲ)說明OD'是四棱錐D'﹣ABCO的高.通過體積公式求解即可.
(Ⅰ)證明:因為在菱形中,,為線段的中點,
所以.
因為平面平面
平面平面,
平面,
所以平面.
因為平面,
所以.
(Ⅱ)證明:如圖,取為線段的中點,連接OP,PM;
因為在中,,分別是線段,的中點,
所以,.
因為是線段的中點,菱形中,,,
所以.
所以,.
所以,.
所以四邊形為平行四邊形,
所以,
因為平面,平面,
所以平面;
(Ⅲ)由(Ⅰ)知平面.
所以 是四棱錐的高,又S= ,
因為,
所以.
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【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,四邊形ABCD是菱形,,BD=2.
(1)若點E,F分別為線段PD,BC上的中點,求證:EF∥平面PAB;
(2)若平面PBD⊥平面ABCD,且PD⊥PB,PD=PB,求平面PAB與平面PBC所成的銳二面角的余弦值.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點在拋物線: 上,直線: 與拋物線交于, 兩點,且直線, 的斜率之和為-1.
(1)求和的值;
(2)若,設(shè)直線與軸交于點,延長與拋物線交于點,拋物線在點處的切線為,記直線, 與軸圍成的三角形面積為,求的最小值.
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【題目】在平行四邊形ABCD中,AB=1,AD,且∠BAD=45°,以BD為折線,把△ABD折起,使AB⊥DC,連接AC,得到三棱錐A﹣BCD.
(1)求證:平面ABD⊥平面BCD;
(2)求二面角B﹣AC﹣D的大小.
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【題目】如圖,AB是圓O的直徑,點C是圓O上異于A,B的點,直線PC⊥平面ABC,E,F分別是PA,PC的中點.
(1)記平面BEF與平面ABC的交線為l,試判斷直線l與平面PAC的位置關(guān)系,并加以證明;
(2)設(shè)(1)中的直線l與圓O的另一個交點為D,且點Q滿足.記直線PQ與平面ABC所成的角為θ,異面直線PQ與EF所成的角為α,二面角E﹣l﹣C的大小為β.求證:sinθ=sinαsinβ.
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【題目】已知銳角△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,b+c=10,a=,5bsinAcosC+5csinAcosB=3a.
(1)求A的余弦值;
(2)求b和c.
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【題目】據(jù)報道,全國很多省市將英語考試作為高考改革的重點,一時間“英語考試該如何改革”引起廣泛關(guān)注,為了解某地區(qū)學(xué)生和包括老師、家長在內(nèi)的社會人士對高考英語改革的看法,某媒體在該地區(qū)選擇了3 000人進(jìn)行調(diào)查,就“是否取消英語聽力”問題進(jìn)行了問卷調(diào)查統(tǒng)計,結(jié)果如下表:
態(tài)度 | |||
調(diào)查人群 | 應(yīng)該取消 | 應(yīng)該保留 | 無所謂 |
在校學(xué)生 | 2100人 | 120人 | y人 |
社會人士 | 500人 | x人 | z人 |
已知在全體樣本中隨機(jī)抽取1人,抽到持“應(yīng)該保留”態(tài)度的人的概率為0.06.
(1)現(xiàn)用分層抽樣的方法在所有參與調(diào)查的人中抽取300人進(jìn)行問卷訪談,問應(yīng)在持“無所謂”態(tài)度的人中抽取多少人?
(2)在持“應(yīng)該保留”態(tài)度的人中,用分層抽樣的方法抽取6人,然后從這6人中隨機(jī)抽取2人,求這2人中恰好有1個人為在校學(xué)生的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在梯形中,,,四邊形
為矩形,平面平面,.
(I)求證:平面;
(II)點在線段上運動,設(shè)平面與平面所成二面角的平面角為,
試求的取值范圍.
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【題目】如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長為3的菱形,∠ABC=60°.PA⊥面ABCD,且PA=3.F在棱PA上,且AF=1,E在棱PD上.
(Ⅰ)若CE∥面BDF,求PE:ED的值;
(Ⅱ)求二面角B-DF-A的大。
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