【題目】已知集合,且中的元素個(gè)數(shù)大于等于5.若集合中存在四個(gè)不同的元素,使得,則稱集合是“關(guān)聯(lián)的”,并稱集合是集合的“關(guān)聯(lián)子集”;若集合不存在“關(guān)聯(lián)子集”,則稱集合是“獨(dú)立的”.
分別判斷集合和集合是“關(guān)聯(lián)的”還是“獨(dú)立的”?若是“關(guān)聯(lián)的”,寫出其所有的關(guān)聯(lián)子集;
已知集合是“關(guān)聯(lián)的”,且任取集合,總存在的關(guān)聯(lián)子集,使得.若,求證:是等差數(shù)列;
集合是“獨(dú)立的”,求證:存在,使得.
【答案】是關(guān)聯(lián)的,關(guān)聯(lián)子集有;是獨(dú)立的;
證明見解析;
證明見解析
【解析】
(1)根據(jù)題中所給的新定義,即可求解;
(2)根據(jù)題意,,,,, ,進(jìn)而利用反證法求解;
(3)不妨設(shè)集合,,且.
記,進(jìn)而利用反證法求解;
解:是“關(guān)聯(lián)的”關(guān)聯(lián)子集有;
是“獨(dú)立的”
記集合的含有四個(gè)元素的集合分別為:
,,,,
.
所以,至多有個(gè)“關(guān)聯(lián)子集”.
若為“關(guān)聯(lián)子集”,則不是 “關(guān)聯(lián)子集”,否則
同理可得若為“關(guān)聯(lián)子集”,則不是 “關(guān)聯(lián)子集”.
所以集合沒有同時(shí)含有元素的“關(guān)聯(lián)子集”,與已知矛盾.
所以一定不是“關(guān)聯(lián)子集”
同理一定不是“關(guān)聯(lián)子集”.
所以集合的“關(guān)聯(lián)子集”至多為.
若不是“關(guān)聯(lián)子集”,則此時(shí)集合一定不含有元素的“關(guān)聯(lián)子集”,與已知矛盾;
若不是“關(guān)聯(lián)子集”,則此時(shí)集合一定不含有元素的“關(guān)聯(lián)子集”,與已知矛盾;
若不是“關(guān)聯(lián)子集”,則此時(shí)集合一定不含有元素的“關(guān)聯(lián)子集”,與已知矛盾;
所以都是“關(guān)聯(lián)子集”
所以有,即
,即.
,即,
所以.
所以是等差數(shù)列.
不妨設(shè)集合,,且.
記.
因?yàn)榧?/span>是“獨(dú)立的”的,所以容易知道中恰好有個(gè)元素.
假設(shè)結(jié)論錯(cuò)誤,即不存在,使得
所以任取,,因?yàn)?/span>,所以
所以
所以任取,
任取,
所以,且中含有個(gè)元素.
(i)若,則必有成立.
因?yàn)?/span>,所以一定有成立.所以.
所以
,,
所以,所以,有矛盾,
(ii)若,
而中含有個(gè)元素,所以
所以,
因?yàn)?/span>,所以.
因?yàn)?/span>,所以
所以
所以,矛盾.
所以命題成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】黃岡“一票通”景區(qū)旅游年卡,是由黃岡市旅游局策劃,黃岡市大別山旅游公司推出的一項(xiàng)惠民工程.持有旅游年卡一年內(nèi)可不限次暢游全市19家簽約景區(qū).為合理配置旅游資源,現(xiàn)對(duì)已游覽某簽約景區(qū)的游客進(jìn)行滿意度調(diào)查.隨機(jī)抽取100位游客進(jìn)行調(diào)查評(píng)分(滿分100分),評(píng)分的頻率分布直方圖如圖.
(1)求a的值并估計(jì)評(píng)分的平均數(shù);
(2)為了了解游客心聲,調(diào)研機(jī)構(gòu)用分層抽樣的方法從評(píng)分為,的游客中抽取了6名,聽取他們對(duì)該景區(qū)建設(shè)的建議.現(xiàn)從這6名游客中選取2人,求這2人中至少有一個(gè)人的評(píng)分在內(nèi)的概率;
(3)為更廣泛了解游客想法,調(diào)研機(jī)構(gòu)對(duì)所有評(píng)分從低到高排序的前86%游客進(jìn)行了網(wǎng)上問卷調(diào)查并隨調(diào)查表贈(zèng)送小禮品,估計(jì)收到問卷調(diào)查表的游客的最高分?jǐn)?shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),若同時(shí)滿足以下條件:
①在D上單調(diào)遞減或單調(diào)遞增;
②存在區(qū)間,使在 上的值域是,那么稱為閉函數(shù).
(1)求閉函數(shù)符合條件②的區(qū)間 ;
(2)判斷函數(shù)是不是閉函數(shù)?若是請(qǐng)找出區(qū)間;若不是請(qǐng)說明理由;
(3)若是閉函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為4,最小值為1,記為.
(1)求實(shí)數(shù),的值;
(2)若不等式成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)對(duì)于任意滿足的自變量,,,…,,如果存在一個(gè)常數(shù),使得定義在區(qū)間上的一個(gè)函數(shù),恒成立,則稱函數(shù)為區(qū)間上的有界變差函數(shù),試判斷函數(shù)是否是區(qū)間上的有界變差函數(shù),若是,求出的最小值;若不是,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù) .
(1)當(dāng)時(shí),討論的單調(diào)性;
(2)設(shè),當(dāng)時(shí),若對(duì)任意,存在使,求實(shí)數(shù)取值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)是上的偶函數(shù),對(duì)于都有成立,且,當(dāng),,且時(shí),都有.則給出下列命題:①;②為函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸;③函數(shù)在上為減函數(shù);④方程在上有4個(gè)根;其中正確的命題個(gè)數(shù)為( )
A.1B.2C.3D.4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】王老師是高三的班主任,為了在寒假更好的督促班上的學(xué)生完成學(xué)習(xí)作業(yè),王老師特地組建了一個(gè)QQ群,群的成員由學(xué)生、家長(zhǎng)、老師共同組成.已知該QQ群中男學(xué)生人數(shù)多于女學(xué)生人數(shù),女學(xué)生人數(shù)多于家長(zhǎng)人數(shù),家長(zhǎng)人數(shù)多于教師人數(shù),教師人數(shù)的兩倍多于男學(xué)生人數(shù).則該QQ群人數(shù)的最小值為( )
A.20B.22C.26D.28
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)設(shè)函數(shù),其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),判斷有無極值,有極值時(shí)求出極值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某健身館在2019年7、8兩月推出優(yōu)惠項(xiàng)目吸引了一批客戶.為預(yù)估2020年7、8兩月客戶投入的健身消費(fèi)金額,健身館隨機(jī)抽樣統(tǒng)計(jì)了2019年7、8兩月100名客戶的消費(fèi)金額,分組如下:,,,…,(單位:元),得到如圖所示的頻率分布直方圖:
(1)請(qǐng)用抽樣的數(shù)據(jù)預(yù)估2020年7、8兩月健身客戶人均消費(fèi)的金額(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);
(2)若把2019年7、8兩月健身消費(fèi)金額不低于800元的客戶,稱為“健身達(dá)人”,經(jīng)數(shù)據(jù)處理,現(xiàn)在列聯(lián)表中得到一定的相關(guān)數(shù)據(jù),請(qǐng)補(bǔ)全空格處的數(shù)據(jù),并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有的把握認(rèn)為“健身達(dá)人”與性別有關(guān)?
健身達(dá)人 | 非健身達(dá)人 | 總計(jì) | |
男 | 10 | ||
女 | 30 | ||
總計(jì) |
(3)為吸引顧客,在健身項(xiàng)目之外,該健身館特別推出健身配套營(yíng)養(yǎng)品的銷售,現(xiàn)有兩種促銷方案.
方案一:每滿800元可立減100元;
方案二:金額超過800元可抽獎(jiǎng)三次,每次中獎(jiǎng)的概率為,且每次抽獎(jiǎng)互不影響,中獎(jiǎng)1次打9折,中獎(jiǎng)2次打8折,中獎(jiǎng)3次打7折.
若某人打算購買1000元的營(yíng)養(yǎng)品,請(qǐng)從實(shí)際付款金額的數(shù)學(xué)期望的角度分析應(yīng)該選擇哪種優(yōu)惠方案.
附:
0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.005 | ||
2.072 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 |
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