Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

ax²+2x，g（x）=lnx．
（1）求函數(shù)y=xg（x）-2x的單調(diào)增區(qū)間．
（2）如果函數(shù)y=f（x）在[1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，求a的取值范圍；
（3）是否存在實(shí)數(shù)a＞0，使得方程

g(x)

x

=f′（x）-（2a+1）在區(qū)間（

1

e

，e）內(nèi)有且只有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根？若存在，請(qǐng)求出a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）先求函數(shù)y=xg（x）-2x的導(dǎo)數(shù)，再讓導(dǎo)數(shù)大于0，解出x的范圍即為函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．
（2）如果函數(shù)y=f（x）是二次函數(shù)，在[1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，則函數(shù)圖象開口向上，且[1，+∞）在對(duì)稱軸右側(cè)，再看A在哪個(gè)范圍內(nèi)符合條件即可．
（3）先假設(shè)存在實(shí)數(shù)a＞0，使得方程

g(x)

x

=f′（x）-（2a+1）在區(qū)間（

1

e

，e）內(nèi)有且只有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
根據(jù)假設(shè)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)在區(qū)間（

1

e

，e）內(nèi)有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，再利用導(dǎo)數(shù)判斷即可．

解答：解：（1）∵y^′=lnx-1
令y^′＞0，則x＞e
∴函數(shù)y=xg（x）-2x的單調(diào)增區(qū)間為（e，+∞）
（2）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=2x在[1，+∞）上是增函數(shù)，
當(dāng)a＞0時(shí)，y=f（x）的對(duì)稱軸方程為x=-

2

a

由于y=f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，
∴-

2

a

≤1，解得a≤-2或a＞0，∴a＞0
當(dāng)a＜0時(shí)，不符合題意，
綜上，a的取值范圍為a≥0
（3）方程

g(x)

x

=f′（x）-（2a+1）可化簡(jiǎn)為

lnx

x

=ax+2-（2a+1）
即為方程ax²+（1-2a）x-lnx=0．
設(shè)H（x）=ax²+（1-2a）x-lnx，（x＞0）
原方程在區(qū)間（

1

e

，e）內(nèi)有且只有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即函數(shù)H（x）在區(qū)間（

1

e

，e）內(nèi)有且只有兩個(gè)零點(diǎn)．
H^′（x）=2ax+（1-2a）-

1

x

=

2ax2+(1-2a)x-1

x

=

(2a+1) (x-1)

x

令H^′（x）=0，因?yàn)閍＞0，解得x=1或x=-

1

2a

（舍）
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，H^′（x）＜0，H（x）是減函數(shù)；
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，H^′（x）＞0，，H（x）是增函數(shù)．，
H（x）在（

1

e

，e）內(nèi)有且只有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，只需
 

H( 1 e )＞ 0 H(x)min＜0 H(e)＞0

即1＜a＜

e2+e

2e-1

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間以及零點(diǎn)，做題時(shí)要認(rèn)真．