已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成邊長為2的正方形.
(Ⅰ)求橢圓 C的方程;
(Ⅱ)過點(diǎn)Q(1,0)的直線 l與橢圓C 相交于A,B兩點(diǎn).點(diǎn)P(4,3),記直線PA,PB的斜率分別為k1,k2,當(dāng)k1•k2 最大時(shí),求直線l的方程.
分析:(I)根據(jù)題意,結(jié)合正方形的性質(zhì)可得b=c且
b2+c2
=2,由此算出a=2,即可得到橢圓C的方程;
(II)當(dāng)直線l的斜率等于0時(shí),結(jié)合橢圓的方程算出k1•k2=
3
4
;直線l的斜率不等于0時(shí),設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),直線l方程為x=my+1,由直線l方程與橢圓方程消去x得到關(guān)于y的一元二次方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系得到y(tǒng)1+y2=
-2m
m2+2
,y1y2=
-3
m2+2
.由此利用直線的斜率公式和直線l方程化簡k1•k2的式子,再根據(jù)基本不等式加以計(jì)算,可得k1•k2=
3
4
+
4m+1
8m2+12
≤1,當(dāng)且僅當(dāng)m=1時(shí),等號(hào)成立.因此當(dāng)m=1時(shí)k1•k2的最大值為1,可得此時(shí)的直線l的方程.
解答:解:(I)∵橢圓C方程為:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0),
∴由左、右焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成邊長為2的正方形,
可得b=c且
b2+c2
=2,解得b=c=
2
,a=
b2+c2
=2.
∴橢圓 C的方程為
x2
4
+
y2
2
=1
;
(II)①直線l的斜率等于0時(shí),A、B分別為左右頂點(diǎn),
∴k1•k2=
3
4+2
3
4-2
=
3
4
;
②直線l的斜率不等于0時(shí),設(shè)直線l的方程為x=my+1,A(x1,y1),B(x2,y2).
x=my+1
x2
4
+
y2
2
=1
消去x,整理得(m2+2)y2+2my-3=0.
∴y1+y2=
-2m
m2+2
,y1y2=
-3
m2+2

∵x1=my1+1,x2=my2+1,
∴k1•k2=
3-y1
4-x1
3-y2
4-x2
=
(3-y1)(3-y2)
(3-my 1)(3-my2)
=
9-3(y1+y2)+y1y2
9-3m(y1+y2)+m2y 1y2

=
9-3•
-2m
m2+2
+
-3
m2+2
9-3m•
-2m
m2+2
+m2
-3
m2+2
=
3m2+2m+5
4m2+6
=
3
4
+
4m+1
8m2+12

令t=4m+1,則
4m+1
8m2+12
=
2t
t2-2t+25
=
2
(t+
25
t
)-2
2
2
t•
25
t
-2
=
1
4

∴k1•k2=
3
4
+
4m+1
8m2+12
3
4
+
1
4
=1,當(dāng)且僅當(dāng)t=5即m=1時(shí),等號(hào)成立.
綜合①②,可得k1•k2的最大值為1,此時(shí)的直線l方程為x=y+1,即x-y-1=0.
點(diǎn)評:本題給出橢圓滿足的條件,求橢圓的方程并研究直線斜率之積的最大值問題.著重考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)、直線的基本量與基本形式、用基本不等式求最值和直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等知識(shí),屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率為
1
2
,且經(jīng)過點(diǎn)P(1,
3
2
)

(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)F是橢圓C的左焦,判斷以PF為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓的位置關(guān)系,并說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的短軸長為2
3
,右焦點(diǎn)F與拋物線y2=4x的焦點(diǎn)重合,O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)A、B是橢圓C上的不同兩點(diǎn),點(diǎn)D(-4,0),且滿足
DA
DB
,若λ∈[
3
8
,
1
2
],求直線AB的斜率的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)經(jīng)過點(diǎn)A(1,
3
2
),且離心率e=
3
2

(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)過點(diǎn)B(-1,0)能否作出直線l,使l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn),且以MN為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O.若存在,求出直線l的方程;若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•房山區(qū)二模)已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的長軸長是4,離心率為
1
2

(Ⅰ)求橢圓方程;
(Ⅱ)設(shè)過點(diǎn)P(0,-2)的直線l交橢圓于M,N兩點(diǎn),且M,N不與橢圓的頂點(diǎn)重合,若以MN為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn)A,求直線l的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的短軸長為2,離心率為
2
2
,設(shè)過右焦點(diǎn)的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A,B,過A,B作直線x=2的垂線AP,BQ,垂足分別為P,Q.記λ=
AP+BQ
PQ
,若直線l的斜率k≥
3
,則λ的取值范圍為
 

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