Question

【題目】已知圓的圓心在拋物線上，圓過原點(diǎn)且與拋物線的準(zhǔn)線相切.

（1）求該拋物線的方程；

（2）過拋物線焦點(diǎn)的直線交拋物線于， 兩點(diǎn)，分別在點(diǎn)， 處作拋物線的兩條切線交于點(diǎn)，求三角形面積的最小值及此時(shí)直線的方程.

Answer 1

【答案】(1) ;(2) 三角形PAB面積最小值為4，此時(shí)直線L的方程為.

【解析】【試題分析】(1)寫出圓心/半徑,焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程,根據(jù)原點(diǎn)在圓上及圓心到拋物線的距離建立方程,解方程組求得的值,由此得到拋物線方程.(2)設(shè)出直線的方程,聯(lián)立直線的方程和拋物線線的方程,寫出韋達(dá)定理,利用導(dǎo)數(shù)求出切線的方程,求出交點(diǎn)的坐標(biāo),利用弦長公式和點(diǎn)到直線距離公式寫出三角形面積的表達(dá)式,并由此求得最小值.

【試題解析】

（1）由已知可得圓心，半徑，焦點(diǎn)，準(zhǔn)線

因?yàn)閳AC與拋物線F的準(zhǔn)線相切，所以，

且圓C過焦點(diǎn)F，

又因?yàn)閳AC過原點(diǎn)，所以圓心C必在線段OF的垂直平分線上，

即

所以，即，拋物線F的方程為

（2）易得焦點(diǎn)，直線L的斜率必存在，設(shè)為k，即直線方程為

設(shè)

得，，

對(duì)求導(dǎo)得，即

直線AP的方程為，即，

同理直線BP方程為

設(shè)，

聯(lián)立AP與BP直線方程解得，即

所以，點(diǎn)P到直線AB的距離

所以三角形PAB面積，當(dāng)僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)

綜上：三角形PAB面積最小值為4，此時(shí)直線L的方程為.