（本題滿分14分）如圖, 在直三棱柱中，，,

，點(diǎn)是的中點(diǎn)．

⑴求證：；

⑵求證：平面；

⑶求二面角的正切值．

 

【答案】

⑴見解析；⑵見解析；⑶

【解析】本試題主要考查了立體幾何中的線線垂直的證明，以及線面平行的判定和二面角的平面角的求解的綜合運(yùn)用。

（1）由于已知中三棱柱的性質(zhì)和三角形可知，得到結(jié)論。

（2）利用線線平行來判定得到線面平行的證明。

（3）由于二面角的平面角可以建立空間直角坐標(biāo)系，求解平面的法向量來表示夾角得到二面角 平面角的求解。

證明：⑴、在直三棱柱，

∵底面三邊長(zhǎng)，，，∴ ，………1分

又直三棱柱中，，且,

，∴．……………3分

而，∴；…………………………4分

⑵、設(shè)與的交點(diǎn)為，連結(jié)，…5分

∵ 是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，∴ ，………7分

∵ ，，∴.…8分

⑶、過點(diǎn)C作CF⊥AB于F，連接C1F.…………9分

由已知C1C垂直平面ABC，

則∠C1FC為二面角的平面角。………11分

在Rt△ABC中，，,,則…………12分

又,∴ ，……………13分

∴二面角的正切值為．…………………………14分

（另：可以建立空間直角坐標(biāo)系用向量方法完成，酌情給分，過程略）

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
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（本題滿分14分）如圖2,為了綠化城市，擬在矩形區(qū)域ABCD內(nèi)建一個(gè)矩形草坪，另外△AEF內(nèi)部有一文物保護(hù)區(qū)域不能占用，經(jīng)過測(cè)量AB=100m,BC=80m,AE=30m,AF=20m,應(yīng)該如何設(shè)計(jì)才能使草坪面積最大？

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（本題滿分14分）

         如圖，已知直三棱柱ABC—A1B1C1，，E是棱CC1上動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是AB中點(diǎn)，

   （1）求證：；

   （2）當(dāng)E是棱CC1中點(diǎn)時(shí)，求證：CF//平面AEB1；

   （3）在棱CC1上是否存在點(diǎn)E，使得二面角A—EB1—B的大小是45°，若存在，求CE的長(zhǎng)，若不存在，請(qǐng)說明理由。

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（Ⅱ）求直線BE與平面ABCD所成角的正弦值

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011年福建省高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)理卷 題型：解答題

（本題滿分14分）如圖，正方形、的邊長(zhǎng)都是1，平面平面，點(diǎn)在上移動(dòng)，點(diǎn)在上移動(dòng)，若（）

（I）求的長(zhǎng)；

（II）為何值時(shí)，的長(zhǎng)最小；

（III）當(dāng)的長(zhǎng)最小時(shí)，求面與面所成銳二面角余弦值的大小.

 

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   （1）求證：EF//平面ABC；

   （2）求證：平面平面C1CBB1；

   （3）求異面直線AB與EB1所成的角。

 

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