Question

已知函數(shù)f（x）=x³+3ax²+3bx+c在x=2處有極值，其圖象在x=1處的切線與直線6x+2y+5=0平行．
①求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
②求函數(shù)的極大值與極小值的差；
③當x∈[1，3]時，f（x）＞1-4c²恒成立，求實數(shù)c的取值范圍．

Answer 1

分析：①先對函數(shù)進行求導，根據(jù)函數(shù)f（x）在x=2取得極值，說明導函數(shù)在x=2時值為0，再根據(jù)其圖象在x=1處的切線斜率為-3，列出方程組即可求出a、b的值，進而可以求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
②根據(jù)①的單調(diào)性，可以得出函數(shù)的極大值為f（0）=c，極小值為f（2）=c-4，即可得出函數(shù)的極大值與極小值的差；
③可以求出函數(shù)在閉區(qū)間∈[1，3]上的最小值，這個最小值要大于1-4c²，解不等式可以得出實數(shù)c的取值范圍．

解答：解：①首先f′（x）=3x²+6ax+3b，
因為函數(shù)f（x）在x=2取得極值，所以f′（2）=3•2²+6a•2+3b=0
即4a+b+4=0…（i）
其次，因為圖象在x=1處的切線與直線6x+2y+5=0平行
所以f′（1）=3•1²+6a•1+3b=-3
即2a+b+2=0…（ii）
聯(lián)解（i）、（ii）可得a=-1，b=0
所以：f′（x）=3x²-6x=3x（x-2）
當f′（x）＞0時，x＜0或x＞2；當f′（x）＜0時，0＜x＜2
∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是 （-∞，0）和（2，+∞）；函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是（0，2）
②由①得，函數(shù)的表達式為（x）=x³-3x²+c，
因此求出函數(shù)的極大值為f（0）=c，極小值為f（2）=c-4
故函數(shù)的極大值與極小值的差為c-（c-4）=4
③f（x）＞1-4c²在x∈[1，3]時恒成立，說明函數(shù)在此區(qū)間上的最小值大于1-4c²，
求出[f（x）]_min=f（2）=c-4，故c-4＞1-4c²
解得c＞1或c＜-

5

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點評：本題主要考查函數(shù)在某點取得極值的條件和導數(shù)的幾何意義，以及利用導數(shù)解決函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題和函數(shù)恒成立問題，綜合性較強，屬于難題．