【題目】設橢圓：的左、右焦點分別為，，下頂點為，橢圓的離心率是，的面積是.

（1）求橢圓的標準方程.

（2）直線與橢圓交于，兩點（異于點），若直線與直線的斜率之和為1，證明：直線恒過定點，并求出該定點的坐標.

【答案】（1）； （2）證明見解析，.

【解析】

（1）根據(jù)離心率和的面積是得到方程組，計算得到答案.

（2）先排除斜率為0時的情況，設，，聯(lián)立方程組利用韋達定理得到，，根據(jù)化簡得到，代入直線方程得到答案.

（1）由題意可得，解得，，則橢圓的標準方程是.

（2）當直線的斜率為0時，直線與直線關于軸對稱，則直線與直線的斜率之和為零，與題設條件矛盾，故直線的斜率不為0.

設，，直線的方程為

聯(lián)立，整理得

則，.

因為直線與直線的斜率之和為1，所以，

所以，

將，代入上式，整理得.

所以，即，

則直線的方程為.

故直線恒過定點.

練習冊系列答案
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【題目】如圖，在三棱臺ABC-A1B1C1中，底面ABC是邊長為2的等邊三角形，上、下底面的面積之比為1：4，側(cè)面A1ABB1⊥底面ABC，并且A1A=A1B1，∠AA1B=90°．

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（2）求四棱錐B-A1ACC1的體積．

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【題目】已知橢圓：在左、右焦點分別為，，上頂點為點，若是面積為的等邊三角形.

（1）求橢圓的標準方程；

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（1）求這4名觀眾中女性認為好看的人數(shù)比男性認為好看的人數(shù)多的概率；

（2）設表示這4名觀眾中認為《流浪地球》好看的人數(shù)，求的分布列與數(shù)學期望.

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【題目】如圖，已知橢圓的左焦點為，過點F做x軸的垂線交橢圓于A，B兩點，且．

(1)求橢圓C的標準方程：

(2)若M，N為橢圓上異于點A的兩點，且直線的傾斜角互補，問直線MN的斜率是否為定值?若是，求出這個定值；若不是，請說明理由．

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【題目】（2017高考新課標Ⅲ，理19）如圖，四面體ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．

（1）證明：平面ACD⊥平面ABC；

（2）過AC的平面交BD于點E，若平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分，求二面角D–AE–C的余弦值.

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【題目】如圖所示，在四棱錐中，底面是矩形，平面，AB 1，AP AD 2.

（1）求直線與平面所成角的正弦值；

（2）若點M，N分別在AB，PC上，且平面，試確定點M，N的位置．

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【題目】在四棱錐中，底面ABCD是邊長為6的菱形，且，平面ABCD，，F是棱PA上的一個動點，E為PD的中點．

Ⅰ求證：．

Ⅱ若．

求PC與平面BDF所成角的正弦值；

側(cè)面PAD內(nèi)是否存在過點E的一條直線，使得該直線上任一點M與C的連線，都滿足平面BDF，若存在，求出此直線被直線PA、PD所截線段的長度，若不存在，請明理由．

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【題目】已知圓C：x2+y2+2x﹣2y+1＝0和拋物線E：y2＝2px（p＞0），圓C與拋物線E的準線交于M、N兩點，△MNF的面積為p，其中F是E的焦點．

（1）求拋物線E的方程；

（2）不過原點O的動直線l交該拋物線于A，B兩點，且滿足OA⊥OB，設點Q為圓C上任意一動點，求當動點Q到直線l的距離最大時直線l的方程．

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