A已知數(shù)列{an}是首項為數(shù)學(xué)公式,公比q=數(shù)學(xué)公式的等比數(shù)列,設(shè)數(shù)學(xué)公式數(shù)學(xué)公式,數(shù)列{cn}滿足cn=an•bn

(1)求證:{bn}是等差數(shù)列;
(2)求數(shù)列{cn}的前n項和Sn;
(3)若數(shù)學(xué)公式對一切正整數(shù)n恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.
B已知數(shù)列{an}和{bn}滿足:a1=λ,數(shù)學(xué)公式數(shù)學(xué)公式,其中λ為實數(shù),n為正整數(shù).
(Ⅰ)對任意實數(shù)λ,證明:數(shù)列{an}不是等比數(shù)列;
(Ⅱ)證明:當(dāng)λ≠-18時,數(shù)列{bn}是等比數(shù)列;
(Ⅲ)設(shè)0<a<b(a,b為實常數(shù)),Sn為數(shù)列{bn}的前n項和.是否存在實數(shù)λ,使得對任意正整數(shù)n,都有a<Sn<b?若存在,求λ的取值范圍;若不存在,說明理由.

A解:(1)由題意得:an=,
,
==,
故數(shù)列{bn}是首項b1=1,公差d=3的等差數(shù)列.
(2)∵數(shù)列{bn}是首項b1=1,公差d=3的等差數(shù)列,
,bn=3n-2,

,

-,

(3)∵=9(1-n)
∴當(dāng)n=1時,,
當(dāng)n≥2時,cn+1<cn,即c1=c2<c3<c4<…<cn,
∴當(dāng)n=1時,cn取最大值是,
對一切正整數(shù)n恒成立,
,
即m2+4m-5≥0,得m≥1,或m≤-5.
B解:(Ⅰ)證明:假設(shè)存在一個實數(shù),使{an}是等比數(shù)列,則有,
即(2=
等價于2-4,
等價于9=0矛盾.
所以{an}不是等比數(shù)列.
(Ⅱ)解:因為bn+1=(-1)n+1[an+1-3(n-1)+21]=(-1)n+1an-2n+14)
=-(-1)n•(an-3n+21)=-bn
當(dāng)λ≠-18時,b1=-(λ+18)≠0,由上可知bn≠0,
,(n∈N+).
故當(dāng)λ≠-18時,數(shù)列{bn}是以-(λ+18)為首項,-為公比的等比數(shù)列,
(Ⅲ)由(2)知,當(dāng)λ=-18,bn=0,Sn=0,不滿足題目要求.
∴λ≠-18,故知bn=-(λ+18)•(-n-1,于是可得
Sn=-,
要使a<Sn<b對任意正整數(shù)n成立,
即a<-(λ+18)•[1-(-n]<b(n∈N+),

,則當(dāng)n為正奇數(shù)時,1<f(n);
當(dāng)n為正偶數(shù)時,,
∴f(n)的最大值為f(1)=,f(n)的最小值為f(2)=,
于是,由①式得,
∴-b-18<λ<-3a-18,
當(dāng)a<b≤3a時,由-b-18≥-3a-18,不存在實數(shù)滿足要求;
當(dāng)b>3a存在λ,使得對任意正整數(shù)n,
都有a<Sn<b,且λ的取值范圍是(-b-18,-3a-18).
分析:A:(1)由題意得:an=,由,,知=3,由此能證明數(shù)列{bn}是首項b1=1,公差d=3的等差數(shù)列.
(2)由,bn=3n-2,知,故,由錯位相減法能求出數(shù)列{cn}的前n項和Sn
(3)由=9(1-n),知當(dāng)n=1時,,當(dāng)n≥2時,cn+1<cn,由此能求出實數(shù)m的取值范圍.
B:(Ⅰ)假設(shè)存在一個實數(shù),使{an}是等比數(shù)列,則有,即(2=,等價于9=0矛盾.所以{an}不是等比數(shù)列.
(Ⅱ)因為bn+1=(-1)n+1[an+1-3(n-1)+21]=-bn,故當(dāng)λ≠-18時,b1=-(λ+18)≠0,,(n∈N+).故當(dāng)λ≠-18時,數(shù)列{bn}是以-(λ+18)為首項,-為公比的等比數(shù)列.
(Ⅲ)由λ=-18,bn=0,Sn=0,不滿足題目要求,知λ≠-18,故知bn=-(λ+18)•(-n-1,于是Sn=-,要使a<Sn<b對任意正整數(shù)n成立,即a<-(λ+18)•[1-(-n]<b(n∈N+),由此能求出λ的取值范圍.
點評:本題考查數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用,考查運算求解能力,推理論證能力;考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.綜合性強(qiáng),難度大,有一定的探索性,對數(shù)學(xué)思維能力要求較高,是高考的重點.解題時要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}是首項為a等于1且公比q不等于1的等比數(shù)列,Sn是其前n項的和,a1,2a7,3a4成等差數(shù)列.
(1) 求和 Tn=a1+a4+a7+…+a3n-2;
(2) 證明 12S3,S6,S12-S6成等比數(shù)列.

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已知數(shù)列{an}是無窮等比數(shù)列,其前n項和是Sn,若a2+a3=2,a3+a4=1,則
lim
n→∞
Sn
的值為( 。
A、
2
3
B、
4
3
C、
8
3
D、
16
3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

A已知數(shù)列{an}是首項為a1=
1
4
,公比q=
1
4
的等比數(shù)列,設(shè)bn+2=3log
1
4
an  (n∈N*)
,數(shù)列{cn}滿足cn=an•bn
(1)求證:{bn}是等差數(shù)列;
(2)求數(shù)列{cn}的前n項和Sn
(3)若cn
1
4
m2+m-1
對一切正整數(shù)n恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.
B已知數(shù)列{an}和{bn}滿足:a1=λ,an+1=
2
3
an+n-4
,bn=(-1)n(an-3n+21),其中λ為實數(shù),n為正整數(shù).
(Ⅰ)對任意實數(shù)λ,證明:數(shù)列{an}不是等比數(shù)列;
(Ⅱ)證明:當(dāng)λ≠-18時,數(shù)列{bn}是等比數(shù)列;
(Ⅲ)設(shè)0<a<b(a,b為實常數(shù)),Sn為數(shù)列{bn}的前n項和.是否存在實數(shù)λ,使得對任意正整數(shù)n,都有a<Sn<b?若存在,求λ的取值范圍;若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年安徽省六安市舒城中學(xué)高三(上)期中數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

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