如圖所示,已知圓M:(x+1)2+y2=8及定點N(1,0),點P是圓M上一動點,點Q為PN的中點,PM上一點G滿足
GQ
NP
=0

(1)求點G的軌跡C的方程;
(2)已知直線l:y=kx+m與曲線C交于A、B兩點,E(0,1),是否存在直線l,使得點N恰為△ABE的垂心?若存在,求出直線l的方程,若不存在,請說明理由.
分析:(1)利用橢圓的定義即可得出;
(2)利用垂心的性質可求出直線AB的斜率,把直線AB的方程與橢圓的方程聯(lián)立,利用根與系數(shù)的關系及垂心的性質即可求出直線AB的方程,進行判斷即可.
解答:解:(1)由點Q為PN的中點,GQ⊥PN可得:|GP|=|GN|,∴|GM|+|GN|=|MP|=2
2
,而M(-1,0),N(1,0),|MN|=2.
∴|GM|+|GN|>|MN|,∴點G的軌跡是以點M、N為焦點、2
2
為長軸長的橢圓,其方程為
x2
2
+y2=1

(2)假設存在,如圖所示:
kEN=
1-0
0-1
=-1
,EN⊥AB,∴kAB=1,即k=1,
∴直線l的方程為y=x+m,設A(x1,y1),B(x2,y2).
聯(lián)立
y=x+m
x2
2
+y2=1
,消去y化為3x2+4mx+2m2-2=0,
∵直線l與橢圓C相較于不同的A、B兩點,
∴△=16m2-12(2m2-2)>0,化為-
3
<m<
3
.(*)
由根與系數(shù)的關系可得:x1+x2=-
4m
3
,x1x2=
2m2-2
3
.(**)
AN
=(1-x1,-y1),
BE
=(-x2,1-y2),
AN
BE
=x1x2-x2+y1y2-y1,
∵AN⊥BE,∴x1x2-x2+y1y2-y1=0,又y1=x1+m,y2=x2+m,
∴x1x2-x2+(x1+m)(x2+m)-(x1+m)=0,化為2x1x2+(m-1)(x1+x2)+m2-m=0,
把(**)代入得
4(m2-1)
3
-
4m(m-1)
3
+m2-m=0
,化為3m2+m-4=0,
解得m=-
4
3
或1.
當m=1時,點E與B重合,應舍去.
m=-
4
3
也滿足(*),故m=-
4
3
點評:熟練掌握橢圓的定義、三角形垂心的性質、直線的點斜式、直線方程與橢圓的方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關系是解題的關鍵.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網如圖所示,已知圓C:(x+1)2+y2=8,定點A(1,0),M為圓C上一動點,點P在線段AM上,點N在線段CM上,且滿足
AM
=2
AP
,
NP
AM
=0
,點N的軌跡為曲線E.
(1)求曲線E的方程;
(2)若過定點F(0,2)的直線交曲線E于不同的兩點G、H(點G在點F、H之間),且滿足
FG
FH
,求λ
的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖所示,已知橢圓M:
y2
a2
+
x2
b2
=1
(a>b>0)的四個頂點構成邊長為5的菱形,原點O到直線AB的距離為
12
5
,其A(0,a),B(-b,0).直線l:x=my+n與橢圓M相交于C,D兩點,且以CD為直徑的圓過橢圓的右頂點P(其中點C,D與點P不重合).
(1)求橢圓M的方程;
(2)試判斷直線l與x軸是否交于定點?若是,求出定點的坐標;若不是,請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

如圖所示,已知圓M:(x+1)2+y2=8及定點N(1,0),點P是圓M上一動點,點Q為PN的中點,PM上一點G滿足數(shù)學公式
(1)求點G的軌跡C的方程;
(2)已知直線l:y=kx+m與曲線C交于A、B兩點,E(0,1),是否存在直線l,使得點N恰為△ABE的垂心?若存在,求出直線l的方程,若不存在,請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:2012-2013學年重慶市南開中學高三(上)12月月考數(shù)學試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

如圖所示,已知圓M:(x+1)2+y2=8及定點N(1,0),點P是圓M上一動點,點Q為PN的中點,PM上一點G滿足
(1)求點G的軌跡C的方程;
(2)已知直線l:y=kx+m與曲線C交于A、B兩點,E(0,1),是否存在直線l,使得點N恰為△ABE的垂心?若存在,求出直線l的方程,若不存在,請說明理由.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案