【題目】已知橢圓:的離心率為,橢圓:經(jīng)過點.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)設(shè)點是橢圓上的任意一點,射線與橢圓交于點,過點的直線與橢圓有且只有一個公共點,直線與橢圓交于,兩個相異點,證明:面積為定值.
【答案】(1); (2)見解析.
【解析】
(1)根據(jù)橢圓的離心率和把過的點代入橢圓方程,根據(jù)得到的式子求出.
(2)當直線斜率不存在時,易得的面積,當直線斜率存在時,設(shè)為,與橢圓相切,得到和的關(guān)系,再由直線和橢圓聯(lián)立方程組,得到、,
利用弦長公式表示出,再得到和的關(guān)系,由到的距離,得到到的距離,從而計算出的面積.得到結(jié)論為定值.
(1)解:因為的離心率為,
所以,
解得.①
將點代入,整理得.②
聯(lián)立①②,得,,
故橢圓的標準方程為.
(2)證明:①當直線的斜率不存在時,
點為或,由對稱性不妨取,
由(1)知橢圓的方程為,所以有.
將代入橢圓的方程得,
所以 .
②當直線的斜率存在時,設(shè)其方程為,
將代入橢圓的方程
得,
由題意得,
整理得.
將代入橢圓的方程,
得.
設(shè),,
則,,
所以 .
設(shè),,,則可得,.
因為,所以,
解得(舍去),
所以,從而.
又因為點到直線的距離為,
所以點到直線的距離為,
所以 ,
綜上,的面積為定值.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題:“三百七十八里關(guān),初行健步不為難,次日腳痛減一半,六朝才得到其關(guān)……”其大意為:“某人從距離關(guān)口三百七十八里處出發(fā),第一天走得輕快有力,從第二天起,由于腳痛,每天走的路程為前一天的一半,共走了六天到達關(guān)口……” 那么該人第一天走的路程為______________
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】給出下列命題:
(1)直線與線段相交,其中,,則的取值范圍是;
(2)點關(guān)于直線的對稱點為,則的坐標為;
(3)圓上恰有個點到直線的距離為;
(4)直線與拋物線交于,兩點,則以為直徑的圓恰好與直線相切.
其中正確的命題有_________.(把所有正確的命題的序號都填上)
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為,,離心率為,過右焦點作直線交橢圓于,兩點,的周長為,點.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)直線、的斜率,,請問是否為定值?若是定值,求出其定值;若不是,說明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,三棱錐中,平面平面,平面平面,分別是和邊上的點,且,,,,,,為的中點.
(1)求證:平面;
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨著移動互聯(lián)網(wǎng)的發(fā)展,與餐飲美食相關(guān)的手機APP軟件層出不窮.現(xiàn)從某市使用A和B兩款訂餐軟件的商家中分別隨機抽取100個商家,對它們的“平均送達時間”進行統(tǒng)計,得到頻率分布直方圖如下.
(1)已知抽取的100個使用A款訂餐軟件的商家中,甲商家的“平均送達時間”為18分鐘,F(xiàn)從使用A款訂餐軟件的商家中“平均送達時間”不超過20分鐘的商家中隨機抽取3個商家進行市場調(diào)研,求甲商家被抽到的概率;
(2)試估計該市使用A款訂餐軟件的商家的“平均送達時間”的眾數(shù)及平均數(shù);
(3)如果以“平均送達時間”的平均數(shù)作為決策依據(jù),從A和B兩款訂餐軟件中選擇一款訂餐,你會選擇哪款?
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某高校在2017年的自主招生考試成績中隨機抽取100名學(xué)生的筆試成績,按成績分組,得到的頻率分布表如表:
組號 | 分組 | 頻率 |
第1組 | ||
第2組 | ||
第3組 | ||
第4組 | ||
第5組 |
求出頻率分布表中處應(yīng)填寫的數(shù)據(jù),并完成如圖所示的頻率分布直方圖;
根據(jù)直方圖估計這次自主招生考試筆試成績的平均數(shù)和中位數(shù)結(jié)果都保留兩位小數(shù).
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列選項中,p是q的必要不充分條件的是( )
A.;方程的曲線是橢圓
B.;對不等式恒成立
C.設(shè)是首項為正數(shù)的等比數(shù)列,公比小于0;對任意的正整數(shù)n,
D.已知空間向量,,;向量a與b的夾角是
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com