Question

【題目】對(duì)于數(shù)集X={﹣1，x1 ， x2 ， …，xn}，其中0＜x1＜x2＜…＜xn ， n≥2，定義向量集Y={ =（s，t），s∈X，t∈X}，若對(duì)任意 ，存在 ，使得 ，則稱X具有性質(zhì)P．例如{﹣1，1，2}具有性質(zhì)P．
（1）若x＞2，且{﹣1，1，2，x}具有性質(zhì)P，求x的值；
（2）若X具有性質(zhì)P，求證：1∈X，且當(dāng)xn＞1時(shí)，x1=1；
（3）若X具有性質(zhì)P，且x1=1、x2=q（q為常數(shù)），求有窮數(shù)列x1 ， x2 ， …，xn的通項(xiàng)公式．

Answer 1

【答案】
（1）解：選取 =（x，2），則Y中與 垂直的元素必有形式（﹣1，b），所以x=2b，

又∵x＞2，∴只有b=2，從而x=4．

（2）解：取 =（x1，x1）∈Y，設(shè) =（s，t）∈Y，滿足 ，可得（s+t）x1=0，s+t=0，所以s、t異號(hào)．

因?yàn)椹?是數(shù)集X中唯一的負(fù)數(shù)，所以s、t中的負(fù)數(shù)必為﹣1，另一個(gè)數(shù)是1，所以1∈X，

假設(shè)xk=1，其中1＜k＜n，則0＜x1＜1＜xn．

再取 =（x1，xn）∈Y，設(shè) =（s，t）∈Y，滿足 ，可得sx1+txn=0，

所以s、t異號(hào)，其中一個(gè)為﹣1

①若s=﹣1，則x1=txn＞t≥x1，矛盾；

②若t=﹣1，則xn=sx1＜s≤xn，矛盾；

說明假設(shè)不成立，由此可得當(dāng)xn＞1時(shí)，x1=1．

（3）解：[解法一]猜想：xi=qi﹣1，i=1，2，3，…，n

記Ak═{﹣1，x1，x2，…，xk}，k=2，3，…，n

先證明若Ak+1具有性質(zhì)P，則Ak也具有性質(zhì)P．

任取 =（s，t），s、t∈Ak，當(dāng)s、t中出現(xiàn)﹣1時(shí)，顯然有 滿足

當(dāng)s、t中都不是﹣1時(shí)，滿足s≥1且t≥1．

因?yàn)锳k+1具有性質(zhì)P，所以有 =（s1，t1），s1、t1∈Ak+1，使得 ，從而s1、t1其中有一個(gè)為﹣1

不妨設(shè)s1=﹣1，

假設(shè)t1∈Ak+1，且t1Ak，則t1=xk+1．由（s，t）（﹣1，xk+1）=0，得s=txk+1≥xk+1，與s∈Ak矛盾．

所以t1∈Ak，從而Ak也具有性質(zhì)P．

再用數(shù)學(xué)歸納法，證明xi=qi﹣1，i=1，2，3，…，n

當(dāng)n=2時(shí)，結(jié)論顯然成立；

假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，Ak═{﹣1，x1，x2，…，xk}具有性質(zhì)P，則xi=qi﹣1，i=1，2，…，k

當(dāng)n=k+1時(shí)，若Ak+1═{﹣1，x1，x2，…，xk+1}具有性質(zhì)P，則Ak═{﹣1，x1，x2，…，xk}具有性質(zhì)P，

所以Ak+1═{﹣1，q，q2，…，qk﹣1，xk+1}．

取 =（xk+1，q），并設(shè) =（s，t）∈Y，滿足 ，由此可得s=﹣1或t=﹣1

若t=﹣1，則xk+1= ，不可能

所以s=﹣1，xk+1=qt=qj≤qk且xk+1＞qk﹣1，因此xk+1=qk綜上所述，xi=qi﹣1，i=1，2，3，…，n

[解法二]設(shè) =（s1，t1）， =（s2，t2），則 等價(jià)于

記B={ |s∈X，t∈X且|s|＞|t|}，則數(shù)集X具有性質(zhì)P，當(dāng)且僅當(dāng)數(shù)集B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

注意到﹣1是集合X中唯一的負(fù)數(shù)，B∩（﹣∞，0）={﹣x2，﹣x3，﹣x4，…，﹣xn}，共有n﹣1個(gè)數(shù)．

所以B∩（0，+∞）也有n﹣1個(gè)數(shù)．

由于 ＜ ＜ ＜…＜ ，已經(jīng)有n﹣1個(gè)數(shù)

對(duì)以下三角形數(shù)陣： ＜ ＜ ＜…＜ ，

＜ ＜ ＜…＜

注意到 ＞ ＞ ＞…＞ ，所以 = =…=

從而數(shù)列的通項(xiàng)公式是xk=x1（ ）k﹣1=qk﹣1，k=1，2，3，…，n．

【解析】（1）在Y中取 =（x，2），根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)公式，可得Y中與 垂直的元素必有形式（﹣1，b），所以x=2b，結(jié)合x＞2，可得x的值．（2）取 =（x1 ， x1）， =（s，t）根據(jù) ，化簡(jiǎn)可得s+t=0，所以s、t異號(hào)．而﹣1是數(shù)集X中唯一的負(fù)數(shù)，所以s、t中的負(fù)數(shù)必為﹣1，另一個(gè)數(shù)是1，從而證出1∈X，最后通過反證法，可以證明出當(dāng)xn＞1時(shí)，x1=1．（3）[解法一]先猜想結(jié)論：xi=qi﹣1 ， i=1，2，3，…，n．記Ak═{﹣1，x1 ， x2 ， …，xk}，k=2，3，…，n，通過反證法證明出引理：若Ak+1具有性質(zhì)P，則Ak也具有性質(zhì)P．最后用數(shù)學(xué)歸納法，可證明出xi=qi﹣1 ， i=1，2，3，…，n；
[解法二]設(shè) =（s1 ， t1）， =（s2 ， t2），則 等價(jià)于 ，得到一正一負(fù)的特征，再記B={ |s∈X，t∈X且|s|＞|t|}，則可得結(jié)論：數(shù)集X具有性質(zhì)P，當(dāng)且僅當(dāng)數(shù)集B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．又注意到﹣1是集合X中唯一的負(fù)數(shù)，B∩（﹣∞，0）={﹣x2 ， ﹣x3 ， ﹣x4 ， …，﹣xn}，共有n﹣1個(gè)數(shù)，所以B∩（0．+∞）也有n﹣1個(gè)數(shù)．最后結(jié)合不等式的性質(zhì)，結(jié)合三角形數(shù)陣加以說明，可得 = =…= ，最終得到數(shù)列的通項(xiàng)公式是xk=x1（ ）k﹣1=qk﹣1 ， k=1，2，3，…，n．
【考點(diǎn)精析】利用元素與集合關(guān)系的判斷對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知對(duì)象與集合的關(guān)系是，或者，兩者必居其一．