若函數(shù)在上為增函數(shù)(為常數(shù)),則稱為區(qū)間上的“一階比增函數(shù)”,為的一階比增區(qū)間.
(1) 若是上的“一階比增函數(shù)”,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2) 若 (,為常數(shù)),且有唯一的零點(diǎn),求的“一階比增區(qū)間”;
(3)若是上的“一階比增函數(shù)”,求證:,
(1) (2)
【解析】
試題分析:
(1)根據(jù)新定義可得在區(qū)間上單調(diào)遞增,即導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上恒成立,則有,再利用分離參數(shù)法即可求的a的取值范圍.
(2)對(duì)求導(dǎo)數(shù),求單調(diào)區(qū)間,可以得到函數(shù)有最小值,又根據(jù)函數(shù) 只有一個(gè)零點(diǎn),從而得到,解出的值為1,再根據(jù)的“一階比增區(qū)間”的定義,則的單調(diào)增區(qū)間即為的“一階比增區(qū)間”.
(3) 根據(jù)是上的“一階比增函數(shù)”的定義,可得到函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,則由函數(shù)單調(diào)遞增的定義可得到,同理有,兩不等式化解相加整理即可得到.
試題解析:
(1)由題得, 在區(qū)間上為增函數(shù),則在區(qū)間上恒成立,即,綜上a的取值范圍為.
(2)由題得,(),則,當(dāng)時(shí),因?yàn)?/span>,所以, .因?yàn)?/span>,所以函數(shù) 在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,即 .又因?yàn)?/span>有唯一的零點(diǎn),所以(使解得帶入驗(yàn)證),故 的單調(diào)增區(qū)間為.即的“一階比增區(qū)間”為.
(3)由題得,因?yàn)楹瘮?shù) 為上的“一階比增函數(shù)”,所以在區(qū)間上的增函數(shù),又因?yàn)?/span>,所以
……,同理, ……,則+得
,所以,.
考點(diǎn):?jiǎn)握{(diào)性定義 不等式 導(dǎo)數(shù) 新概念
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
已知函數(shù)
(1)若函數(shù)在上為增函數(shù),求正實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)當(dāng)時(shí),求在上的最大值和最小值;
(3)當(dāng)時(shí),求證:對(duì)大于1的任意正整數(shù),都有
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013屆山東省高二下學(xué)期3月考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
已知函數(shù)
(1) 若函數(shù)在上為增函數(shù),求正實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2) 當(dāng)時(shí),求函數(shù)在上的最值;
當(dāng)時(shí),對(duì)大于1的任意正整數(shù),試比較與的大小關(guān)系
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年安徽省高三上學(xué)期期中考試文科數(shù)學(xué) 題型:解答題
(本題滿分12分)已知函數(shù),常數(shù).
(1)討論函數(shù)的奇偶性,并說明理由;
(2)若函數(shù)在上為增函數(shù),求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010年浙江省寧波市八校聯(lián)考高二第二學(xué)期期末數(shù)學(xué)(理)試題 題型:解答題
已知函數(shù),常數(shù)
(1)討論函數(shù)的奇偶性,并說明理由;
(2)若函數(shù)在上為增函數(shù),求的取值范圍.
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