Question

如圖，直線與拋物線（常數(shù)）相交于不同的兩點(diǎn)、，且（為定值），線段的中點(diǎn)為，與直線平行的切線的切點(diǎn)為（不與拋物線對稱軸平行或重合且與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線稱為拋物線的切線，這個(gè)公共點(diǎn)為切點(diǎn)）．

（1）用、表示出點(diǎn)、點(diǎn)的坐標(biāo)，并證明垂直于軸；
（2）求的面積，證明的面積與、無關(guān)，只與有關(guān)；
（3）小張所在的興趣小組完成上面兩個(gè)小題后，小張連、，再作與、平行的切線，切點(diǎn)分別為、，小張馬上寫出了、的面積，由此小張求出了直線與拋物線圍成的面積，你認(rèn)為小張能做到嗎？請你說出理由．

Answer 1

（1），，（2），（3）能.

試題分析：（1）因?yàn)镈點(diǎn)為直線與拋物線的交點(diǎn)A，B中點(diǎn)，所以求D點(diǎn)坐標(biāo)就根據(jù)直線方程與拋物線方程聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理求解，即由，得，，點(diǎn).因?yàn)镃點(diǎn)為切點(diǎn)，利用切線方程與拋物線方程聯(lián)立方程組后的判別式為零進(jìn)行求解，即由,得，得.由于、的橫坐標(biāo)相同，垂直于軸．（2）求三角形面積，必須觀察結(jié)構(gòu)，合理選用底邊與高.本題將CD選為底,則為高，利用（1）求出，則，（3）對題目“馬上”的理解，就是進(jìn)行類比，直接寫出結(jié)論. 由（1）知垂直于軸，，由（2）可得、的面積只與有關(guān)，將中的換成，可得．而這一過程可無限類比下去,依次得到一列數(shù)：，，這些數(shù)構(gòu)成一個(gè)公比為無窮等比數(shù)列，其和可看成直線與拋物線圍成的面積，即
試題解析：（1）由，得，
點(diǎn)          2分
設(shè)切線方程為，由,得，，切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，得    4分
由于、的橫坐標(biāo)相同，垂直于軸．        6分
（2），．   8分
．        11分
的面積與、無關(guān)，只與有關(guān)．      12分
（本小題也可以求，切點(diǎn)到直線的距離，相應(yīng)給分）
（3）由（1）知垂直于軸，，由（2）可得、的面積只與有關(guān)，將中的換成，可得．  14分
記，，按上面構(gòu)造三角形的方法，無限的進(jìn)行下去，可以將拋物線與線段所圍成的封閉圖形的面積，看成無窮多個(gè)三角形的面積的和，即數(shù)列的無窮項(xiàng)和，此數(shù)列公比為．