設(shè)函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱且滿足:
(i)f(x1－x2)=；
(ii)存在正常數(shù)a使f(a)=1 求證:
(1)f(x)是奇函數(shù).
(2)f(x)是周期函數(shù)，且有一個周期是4.
證明略
(1）不妨令x=x1－x2,
則f(－x)=f(x2－x1)= 
=－f(x1－x2)=－f(x)                
∴f(x)是奇函數(shù).
(2）要證f(x+4a)=f(x),可先計算f(x+a),f(x+2a).
∵f(x+a)=f［x-(-a)］= 

∴f(x+4a)=f［(x+2a)+2a］==f(x),
故f(x)是以4a為周期的周期函數(shù).
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

函數(shù)的圖象的對稱中心是
A．（0，0）B．（6，0）C．（，0）D．（0，）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)的定義域為R，且滿足f(x+2)=-f(x)?.
（1）求證：f(x)是周期函數(shù)；
（2）若f(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)0≤x≤1時，f(x)=x,求使f(x)=-在［0，2 009］上的所有x的個數(shù).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

判斷下列函數(shù)的奇偶性：
（1）f（x）=|x+1|－|x－1|；（2）f（x）=（x－1）·；
（3）；（4）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題


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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù)。
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若對任意的，不等式恒成立，求的取值范圍；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)f（logax）=
a
a-1
（x-
1
x
）（a＞0且a≠1）．
（1）求f（x）解析式并判斷f（x）的奇偶性；
（2）對于（1）中的函數(shù)f（x），若?x1，x2∈R當(dāng)x1＜x2時都有f（x1）＜f（x2）成立，求滿足條件f（1-m）+f（m2-1）＜0的實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

若函數(shù)是奇函數(shù)，則a=      .

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

對，定義，例，則函數(shù)是（  ）
A 奇函數(shù)                       B偶函數(shù)
C 既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)         D非奇非偶函數(shù)

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