Question

20．定義$\frac{n}{{p}_{1}+{p}_{2}+…+{p}_{n}}$為n個正數(shù)p₁，p₂，…，p_n的“均倒數(shù)”．若已知正數(shù)數(shù)列{a_n}的前n項的“均倒數(shù)”為$\frac{1}{2n+1}$，又b_n=$\frac{{a}_{n}+1}{4}$，則$\frac{1}{_{1}_{2}}$+$\frac{1}{_{2}_{3}}$+$\frac{1}{_{3}_{4}}$+…+$\frac{1}{_{2015}_{2016}}$=（　�。�

• A． $\frac{2013}{2014}$
• B． $\frac{2014}{2015}$
• C． $\frac{2015}{2016}$
• D． $\frac{1}{2015}$

Answer 1

分析 直接利用給出的定義得到$\frac{n}{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}$=$\frac{1}{2n+1}$，整理得到S_n=2n²+n．分n=1和n≥2求出數(shù)列{a_n}的通項，驗證n=1時滿足，所以數(shù)列{a_n}的通項公式可求；再利用裂項求和方法即可得出．

解答 解：由已知定義，得到$\frac{n}{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}$=$\frac{1}{2n+1}$，
∴a₁+a₂+…+a_n=n（2n+1）=S_n，
即S_n=2n²+n．
當n=1時，a₁=S₁=3．
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（2n²+n）-[2（n-1）²+（n-1）]=4n-1．
當n=1時也成立，
∴a_n=4n-1；
∵b_n=$\frac{{a}_{n}+1}{4}$=n，
∴$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴$\frac{1}{_{1}_{2}}$+$\frac{1}{_{2}_{3}}$+$\frac{1}{_{3}_{4}}$+…+$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$，
∴$\frac{1}{_{1}_{2}}$+$\frac{1}{_{2}_{3}}$+$\frac{1}{_{3}_{4}}$+…+$\frac{1}{_{2015}_{2016}}$=$\frac{2015}{2016}$，
故選：C

點評 本考查了數(shù)列的遞推關系式的運用，裂項的方法求解數(shù)列的和，考查的解題思想較多，但是運算量不大，屬于中檔題．