Question

(經(jīng)典回放)設(shè)P_n＝(1＋x)ⁿ，Q_n＝1＋nx＋x²，n∈N₊，x∈(－1，＋∞)，試比較P_n與Q_n的大小，并加以證明．

Answer 1

答案：
解析：

P1＝1＋x＝Q1，P2＝1＋2x＋x2＝Q2， 　　P3＝1＋3x＋3x2＋x3，Q3＝1＋3x＋3x2， 　　P3－Q3＝x3， 　　由此推測，Pn與Qn的大小要由x的符號來決定． 　　解：(1)當(dāng)n＝1，2時(shí)，Pn＝Qn． 　　(2)當(dāng)n≥3時(shí)，(以下再對x進(jìn)行分類)． 　�、偃魓∈(0，＋∞)，顯然有Pn＞Qn； 　�、谌魓＝0，則Pn＝Qn； 　�、廴魓∈(－1，0)， 　　則P3－Q3＝x3＜0，所以P3＜Q3； 　　P4－Q4＝4x3＋x4＝x3(4＋x)＜0，所以P4＜Q4； 　　假設(shè)Pk＜Qk(k≥3)， 　　則Pk+1＝(1＋x)Pk＜(1＋x)Qk＝Qk＋xQk(運(yùn)用歸納假設(shè)) 　�。�1＋＋x＋kx2＋ 　�。�1＋(k＋1)x＋x2＋x3 　�。絈k+1＋x3＜Qk+1， 　　即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式成立． 　　所以當(dāng)n≥3，且x∈(－1，0)時(shí)，Pn＜Qn． 　　思路分析：這類問題，一般都是將Pn、Qn退至具體的Pn、Qn開始觀察，以尋求規(guī)律，作出猜想，再證明猜想的正確性．

提示：

本題除對n的不同取值會有Pn與Qn之間的大小變化，變量x也影響Pn與Qn的大小關(guān)系，這就要求我們在探索大小關(guān)系時(shí)，不能只顧“n”，而忽視其他變量(參數(shù))的作用．