Question

【題目】在某單位的職工食堂中，食堂每天以3元/個的價格從面包店購進(jìn)面包，然后以5元/個的價格出售．如果當(dāng)天賣不完，剩下的面包以1元/個的價格賣給飼料加工廠．根據(jù)以往統(tǒng)計(jì)資料，得到食堂每天面包需求量的頻率分布直方圖如下圖所示．食堂某天購進(jìn)了90個面包，以x（單位：個，60≤x≤110）表示面包的需求量，T（單位：元）表示利潤．
（Ⅰ）求T關(guān)于x的函數(shù)解析式；
（Ⅱ）根據(jù)直方圖估計(jì)利潤T不少于100元的概率；
（Ⅲ）在直方圖的需求量分組中，以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的各個值，并以需求量落入該區(qū)間的頻率作為需求量取該區(qū)間中間值的概率（例如：若需求量x∈[60，70），則取x=65，且x=65的概率等于需求量落入[60，70）的頻率），求T的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意，當(dāng)60≤X≤90時，利潤T=5X+1×（90﹣X）﹣3×90=4X﹣180， 當(dāng)90＜X≤110時，利潤T=5×90﹣3×90=180，
即T關(guān)于x的函數(shù)解析式T= ．
（Ⅱ）由題意，設(shè)利潤T不少于100元為事件A，
由（Ⅰ）知，利潤T不少于100元時，即4X﹣180≥100，
∴X≥70，即70≤X≤110，
由直方圖可知，當(dāng)70≤X≤110時，
所求概率為：
P（A）=1﹣P（ ）=1﹣0.025×（70﹣60）=0.75．
（Ⅲ）由題意，由于4×65﹣180=80，4×75﹣180=120，
4×85﹣180=160，
故利潤T的取值可為：80，120，160，180，
且P（T=80）=0.25，P（T=120）=0.15，P（T=160）=0.2，P（T=180）=0.4，…（9分）
故T的分布列為：

T	80	120	160	180
P	0.25	0.15	0.2	0.4

∴利潤的數(shù)學(xué)期望：
E（T）=80×0.25+120×0.15+160×0.20+180×0.40=142
【解析】（Ⅰ）由題意，當(dāng)60≤X≤90時，求出利潤T，當(dāng)90＜X≤110時，求出利潤T，由此能求出T關(guān)于x的函數(shù)解析式．（Ⅱ）由題意，設(shè)利潤T不少于100元為事件A，利潤T不少于100元時，即70≤X≤110，由此利用對立事件概率計(jì)算公式能求出T的分布列和數(shù)學(xué)期望．（III）由題意，利潤T的取值可為：80，120，160，180，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出利潤的數(shù)學(xué)期望E（T）．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用離散型隨機(jī)變量及其分布列，掌握在射擊、產(chǎn)品檢驗(yàn)等例子中，對于隨機(jī)變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量．離散型隨機(jī)變量的分布列：一般的,設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機(jī)變量X 的概率分布，簡稱分布列即可以解答此題．