已知函數(shù)f(x)=,g(x)=x+a(a>0).

(1)求a的值,使點(diǎn)M(f(x),g(x))到直線x+y-1=0的距離最短為2;

(2)若不等式||≤1在x∈[1,4]上恒成立,求a的取值范圍.

解:(1)由題意得,點(diǎn)M到直線x+y-1=0的距離d=,

    令t=,則t≥0,

d==.

∴當(dāng)t==0時(shí),dmin==.

    解得a=-1(舍),a=3.

(2)由||≤1-1

≤1得0≤≤2,即≤2在x∈[1,4]上恒成立.

    也就是ax+a2在x∈[1,4]上恒成立.

    令t=,則t≥0,且x=t2.

    依題意at2-2t+a2≤0,

    在t∈[1,2]上恒成立.

    設(shè)φ(t)=at2-2t+a2,則要使上述條件成立,只需

    解得0<a≤2(-1),

    即滿足題意的a的取值范圍是0<a≤2(-1).

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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
3x+5,(x≤0)
x+5,(0<x≤1)
-2x+8,(x>1)
,
求(1)f(
1
π
),f[f(-1)]
的值;
(2)若f(a)>2,則a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=
(1-3a)x+10ax≤7
ax-7x>7.
是定義域上的遞減函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(  )
A、(
1
3
,1)
B、(
1
3
,
1
2
]
C、(
1
3
6
11
]
D、[
6
11
,1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
|x-1|-a
1-x2
是奇函數(shù).則實(shí)數(shù)a的值為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
2x-2-x2x+2-x

(1)求f(x)的定義域與值域;
(2)判斷f(x)的奇偶性并證明;
(3)研究f(x)的單調(diào)性.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
x-1x+a
+ln(x+1)
,其中實(shí)數(shù)a≠1.
(1)若a=2,求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程;
(2)若f(x)在x=1處取得極值,試討論f(x)的單調(diào)性.

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