Question

【題目】已知函數(shù)f(x)＝ (其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，常數(shù)a＞0)．

(1)當(dāng)a＝1時(shí)，求曲線(xiàn)在(0，f(0))處的切線(xiàn)方程；

(2)若存在實(shí)數(shù)x∈(a,2]，使得不等式f(x)≤e2成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）切線(xiàn)方程為.（2）a的取值范圍是(0,1].

【解析】試題分析：（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線(xiàn)斜率，再根據(jù)點(diǎn)斜式求切線(xiàn)方程（2）先變量分離得 ，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最大值，即得a的取值范圍．

試題解析：(1)f(x)的定義域?yàn)?/span>{x|x≠a}．

當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝，f′(x)＝，

∴f(0)＝－1，f′(0)＝－2.

∴曲線(xiàn)在(0，f(0))處的切線(xiàn)方程為

2x＋y＋1＝0.

(2)f′(x)＝，

令f′(x)＝0，x＝a＋1，

∴f(x)在(－∞，a)，(a，a＋1)上遞減，

在(a＋1，＋∞)上遞增.6分

若存在x∈(a,2]，使不等式f(x)≤e2成立，只需在x∈(a,2]上，f(x)min≤e2成立．

①當(dāng)a＋1≤2，即0＜a≤1時(shí)，f(x)min＝f(a＋1)＝ea＋1≤e2，

∴0＜a≤1符合條件.10分

②當(dāng)a＋1＞2，即1＜a＜2時(shí)，

f(x)min＝f(2)＝≤e2，解得a≤1，

又1＜a＜2，∴a∈.

綜上，a的取值范圍是(0,1].