Question

【題目】解答題
（1）在邊長為1的正方形ABCD內(nèi)任取一點(diǎn)M，求事件“|AM|≤1”的概率；
（2）某班在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)中，老師讓全班56名同學(xué)每人隨機(jī)寫下一對(duì)都小于1的正實(shí)數(shù)x、y，統(tǒng)計(jì)出兩數(shù)能與1構(gòu)成銳角三角形的三邊長的數(shù)對(duì)（x，y）共有12對(duì)，請(qǐng)據(jù)此估計(jì)π的近似值（精確到0.001）．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖，在邊長為1的正方形ABCD內(nèi)任取一點(diǎn)M，滿足條件的點(diǎn)M落在扇形BAD內(nèi)（圖中陰影部分），由幾何概型概率計(jì)算公式，有： P ( | M A | ≤ 1 ) = S陰影部分/S正方形ABCD =，

故事件“|AM|≤1”發(fā)生的概率為 ．

（2）

以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：

任取兩個(gè)小于1的正數(shù)x，y，所有基本事件構(gòu)成區(qū)域 Ω = { ( x , y ) | { 0 < x < 1 ;0 < y < 1 } ，

，即正方形ABCD內(nèi)部；

事件N=“以x，y與1為邊長能構(gòu)成銳角三角形”包含的基本事件構(gòu)成區(qū)域

，即扇形BAD以外正方形ABCD以內(nèi)的陰影部分；

由（1）知：

全班56名同學(xué)每人隨機(jī)寫下一對(duì)都小于1的正實(shí)數(shù)x、y，可以看作在區(qū)域Ω中任取56個(gè)點(diǎn)；滿足“以x，y與1為邊長能構(gòu)成銳角三角形”的（x，y）共有12對(duì)，即有12個(gè)點(diǎn)落在區(qū)域N中，

故其概率為，用頻率估計(jì)概率，有,即，

∴即π的近似值為3.143．

【解析】（1）根據(jù)已知條件，求出滿足條件的正方形ABCD的面積，及事件“|AM|≤1”對(duì)應(yīng)平面區(qū)域的面積，代入幾何概型計(jì)算公式，即可求出答案．（2）以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：任取兩個(gè)小于1的正數(shù)x，y，所有基本事件構(gòu)成區(qū)域 ，即正方形ABCD內(nèi)部；事件N=“以x，y與1為邊長能構(gòu)成銳角三角形”包含的基本事件構(gòu)成區(qū)域 ，即扇形BAD以外正方形ABCD以內(nèi)的陰影部分，由幾何概型概率計(jì)算公式，得出所取的點(diǎn)在圓內(nèi)的概率是圓的面積比正方形的面積，二者相等即可估計(jì)π的值．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了幾何概型的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握幾何概型的特點(diǎn)：1）試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果（基本事件）有無限多個(gè)；2）每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等才能正確解答此題．