Question

已知F₁、F₂分別是橢圓

x2

4

+

y2

3

=1的左、右焦點，曲線C是以坐標原點為頂點，以F₂為焦點的拋物線，自點F₁引直線交曲線C于P、Q兩個不同的點，點P關(guān)于x軸對稱的點記為M，設(shè)

F1P

=λ

F1Q

．
（1）寫出曲線C的方程；
（2）若

F2M

=u

F2Q

，試用λ表示u；
（3）若λ∈[2，3]，求|PQ|的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意及拋物線的方程易得；
（2）由題意及所知的兩向量等式應(yīng)先設(shè)出點P，Q，M的坐標，利用已知的向量等式建立λ與μ的關(guān)系，進而求解；
（3）由于設(shè)出點P，Q的坐標利用兩點間的距離公式，算出PQ的長度，應(yīng)轉(zhuǎn)化為用λ表示所求，接下來因為知道λ的范圍進而可以求PQ長度的范圍．

解答：解：（1）拋物線的方程是y²=4x，
（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），M（x₁，-y₁）
∵

F1P

=λ

F1Q

，
∴

x1+1=λ(x2+1)① y1=λy2②

∴y₁²=λ²y₂²，又y₁²=4x₁，y₂²=4x₂，
∴x₁=λ²x₂代入①得λ²x₂+1=λx₂+λ
∴λx₂（λ-1）=λ-1，
∵λ≠1
∴

x2= 1 λ ③ x1=λ④

則

F2M

=（x₁-1，-y₁）=（λ-1，-λy₂）=-λ（

1

λ

-1，y₂）
=-λ（x₂-1，y₂）=-λ

F2Q

即

F2M

=-λ

F2Q

，故u=-λ
（3）由③、④知x₁x₂=1，
∴y₁²y₂²=16x₁x₂=16，又y₁y₂＞0，
∴y₁y₂=4
∴|PQ|²
=（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²
=x₁²+x₂²+y₁²+y₂²-2（x₁x₂+y₁y₂）
=λ²+

1

λ2

+4（λ+

1

λ

）-10
=（λ+

1

λ

）²+4（λ+

1

λ

）-12
=（λ+

1

λ

+2）²-16
又2≤λ≤3，
∴

5

2

≤λ+

1

λ

≤

10

3

∴

17

4

≤|PQ|²≤

7×16

9

所以

17

2

≤|PQ|≤

4 7

3

點評：（1）此問重點考查了拋物線的標準方程及拋物線焦點的概念；
（2）此問重點考查了由向量等式轉(zhuǎn)化為坐標等式，還考查了建立方程后整體代換的思想；
（3）此問重點考查了設(shè)出坐標后利用兩點間的距離公式表示兩點間的距離，轉(zhuǎn)化為用λ表示，還考查了不等式的性質(zhì)．