Question

選修4-4：坐標系與參數(shù)方程
在平面直角坐標系xOy中，曲線C₁的參數(shù)方程為

x=4cosθ y=3sinθ

(θ為參數(shù)），以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，得曲線C₂的極坐標方程為ρ+6sinθ-8cosθ=0（ρ≥0）．
（I）化曲線C₁的參數(shù)方程為普通方程，化曲線C₂的極坐標方程為直角坐標方程；
（II）直線l：

x=2+t y=- 3 2 +λt

(t為參數(shù)）過曲線C₁與y軸負半軸的交點，求直線l平行且與曲線C₂相切的直線方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用三角函數(shù)的平方關系和極坐標與直角坐標的互化公式即可；
（Ⅱ）利用已知條件先求出直線l的方程，再利用直線與圓相切的充要條件即可求出．

解答：解：（Ⅰ）由曲線C₁的參數(shù)方程為

x=4cosθ y=3sinθ

(θ為參數(shù)），消去參數(shù)θ化為普通方程

x2

16

+

y2

9

=1；
由曲線C₂的極坐標方程為ρ+6sinθ-8cosθ=0（ρ≥0）得ρ²+6ρsinθ-8ρcosθ=0化為直角坐標方程x²+y²+6y-8x=0可化為（x-4）²+（y+3）²=25，圓心C₂（4，-3），半徑r=5．
（Ⅱ）由曲線C₁的方程

x2

16

+

y2

9

=1，令x=0得y=±3，∴曲線C₁與y軸負半軸的交點為（0，-3）；
∵直線l：

x=2+t y=- 3 2 +λt

(t為參數(shù)）過點（0，-3），∴

0=2+t -3=- 3 2 +λt

，解得

t=-2 λ= 3 4

，
∴直線l的方程為3x-4y-12=0．
設與直線l平行且與曲線C₂相切的直線方程為3x-4y+m=0，
則圓心C₂（4，-3）到直線l的距離d=r，即

|3×4-4×(-3)+m|

32+42

=5化為|m+24|=25，解得m=1或-49，
∴與直線l平行且與曲線C₂相切的直線方程為3x-4y+1=0或3x-4y-49=0．

點評：熟練掌握三角函數(shù)的平方關系、極坐標與直角坐標的互化公式、直線與圓相切的充要條件是解題的關鍵．