(本小題滿分12分)
已知橢圓
的中心在原點,焦點在
軸上,點
、
分別是橢圓的左、右焦點,在橢圓
的右準(zhǔn)線上的點
,滿足線段
的中垂線過點
.直線
:
為動直線,且直線
與橢圓
交于不同的兩點
、
.
(1)求橢圓C的方程;
(2)若在橢圓
上存在點
,滿足
(
為坐標(biāo)原點),求實數(shù)
的取值范圍;
(3)在(Ⅱ)的條件下,當(dāng)
取何值時,
的面積最大,并求出這個最大值.
(1)
(2)
(3)當(dāng)
時,
的面積最大,最大值為
解:(1)設(shè)橢圓
的方程為
,半焦距為
,依題意有
解得
.
所求橢圓方程為
. ……………………………3分
(2)由
,得
.
設(shè)點
、
的坐標(biāo)分別為
、
,則
.
(1)當(dāng)
時,點
、
關(guān)于原點對稱,則
.
(2)當(dāng)
時,點
、
不關(guān)于原點對稱,則
,
由
,得
即
點
在橢圓上,
有
,
化簡,得
.
,
有
.………………①
又
,
由
,得
.……………………………②
將①、②兩式,得
.
,
,則
且
.
綜合(1)、(2)兩種情況,得實數(shù)
的取值范圍是
.………………8分
【注】 此題可根據(jù)圖形得出當(dāng)
時
,當(dāng)
、
兩點重合時
.
如果學(xué)生由此得出
的取值范圍是
可酌情給分.
(3)
,點
到直線
的距離
,
的面積
.
由①有
,代入上式并化簡,得
.
,
.
當(dāng)且僅當(dāng)
,即
時,等號成立.
當(dāng)
時,
的面積最大,最大值為
.…………… 12分
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
(本小題滿分12分)
已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點
,焦點在
軸上,短軸長為2,且兩個焦點和短軸的兩個端點恰為
一個正方形的頂點.過右焦點
與
軸不垂直的直線
交橢圓于
,
兩點.
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)在線段
上是否存在點
,使得以
為鄰邊的平行四邊形是菱形? 若存在,求出
的取值范圍;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
直線l:x-2y+2=0過橢圓左焦點F1和一個頂點B,則該橢圓
的離心率為
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
以等腰直角△ABC的兩個頂點作為焦點,且經(jīng)過另一頂點的橢圓的離心率為 .
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
若橢圓的對稱軸為坐標(biāo)軸,長軸長與短軸長的和為18,
一個焦點的坐標(biāo)是(3,0),則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為( )
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
已知點P是橢圓
上的動點,
F1,
F2為橢圓的兩個焦點,O是坐標(biāo)原點,若M是
F1P
F2平分線上的一點,且
F1M
MP,則OM的取值范圍是__________________。
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
橢圓
上的點到直線
x-y+6=0的距離的最小值是
.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
橢圓
的右焦點到直線
的距離是 ( )
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
一根竹竿長2米,豎直放在廣場的水平地面上,在
時刻測得它的影長為4米,在
時刻的影長為1米。這個廣場上有一個球形物體,它在地面上的影子是橢圓,問在
、
這兩個時刻該球形物體在地面上的兩個橢圓影子的離心率之比為( )
1:1
:1
:1
2:1
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