【題目】已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0,b∈R,c∈R).
(1)若函數(shù)f(x)的最小值是f(﹣1)=0,且c=1,求f (2)的值;
(2)若a=1,c=0,且|f(x)|≤1在區(qū)間(0,1]上恒成立,試求b的取值范圍.
【答案】(1)9 ; (2)[﹣2,].
【解析】
(1)根據(jù)函數(shù)f(x)的最小值是f(﹣1)=0,且c=1,求解得a,b,即可求解f (2)的值;
(2)將a=1,c=0代入,|f(x)|≤1在區(qū)間(0,1]上恒成立,轉(zhuǎn)化為不等式問題求解即可.
函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0,b∈R,c∈R).
(1)由題意,可得,a﹣b+1=0,
解得:a=1,b=2;
∴函數(shù)f(x)=x2+2x+1.
那么f(2)=4+4+1=9;
(2)由a=1,c=0,可得f(x)=x2+bx;
∵|f(x)|≤1在區(qū)間(0,1]上恒成立,
即|x2+bx|≤1
令g(x)=|x2+bx|=|x(x+b)|,顯然圖象過原點,(b,0).
當b<0,g(x)在區(qū)間(0,1]上單調(diào)遞增,可得g(x)的圖象,(如圖)
g(x)max=g(1)=|b+1|≤1
∴﹣2≤b<0
當b=0時,可得|x2|≤1在區(qū)間(0,1]上恒成立,
可得:﹣2≤b≤0;
當b>0,顯然g(x)max=
解得:≥b>0
綜上可得b的取值范圍是[﹣2,].
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【題目】在四棱錐P﹣ABCD中,平面四邊形ABCD中AD∥BC,∠BAD為二面角B﹣PA﹣D一個平面角.
(1)若四邊形ABCD是菱形,求證:BD⊥平面PAC;
(2)若四邊形ABCD是梯形,且平面PAB∩平面PCD=l,問:直線l能否與平面ABCD平行?請說明理由.
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【題目】在平面直角坐標系中,經(jīng)過點且斜率為的直線與橢圓有兩個不同的交點和.
(1)求的取值范圍;
(2)設(shè)橢圓與軸正半軸、軸正半軸的交點分別為,是否存在常數(shù),使得向量與共線?如果存在,求值;如果不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,在正方體中,過對角線的一個平面交于點,交于.
①四邊形一定是平行四邊形;
②四邊形有可能是正方形;
③四邊形在底面內(nèi)的投影一定是正方形;
④四邊形有可能垂直于平面.
以上結(jié)論正確的為_______________.(寫出所有正確結(jié)論的編號)
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【題目】已知函數(shù)f(x)=.
(1)若f(x)的值域為R,求實數(shù)a的取值范圍;
(2)若函數(shù)f(x)在(﹣∞,1)上為增函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍.
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【題目】某居民區(qū)的物業(yè)部門每月向居民收取衛(wèi)生費,計費方法如下:3人和3人以下的住戶,每戶收取5元;超過3人的住戶,每超出1人加收1.2元.設(shè)計一個算法,根據(jù)輸入的人數(shù),計算應(yīng)收取的衛(wèi)生費,并畫出程序框圖.
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