Question

已知向量

a

=(cos

3

2

x，sin

3

2

x)，

b

=(cos

x

2

，-sin

x

2

)，且x∈[0，

π

2

]．
（Ⅰ）求

a

•

b

及|

a

+

b

|；
（Ⅱ）若f(x)=

a

•

b

-2λ|

a

+

b

|(λ≤1)的最小值等于-

3

2

，求λ值及f（x）取得最小值-

3

2

時(shí)x的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)向量

a

=(cos

3

2

x，sin

3

2

x)，

b

=(cos

x

2

，-sin

x

2

)，且x∈[0，

π

2

]．利用向量的數(shù)量積公式和向量的模的運(yùn)算法則，能夠求出

a

•

b

及|

a

+

b

|．
（2）因?yàn)?span id="oh1pjw9" class="MathJye">f(x)=

a

•

b

-2λ|(

a

+

b)

|=cos2x-4λcosx(λ≤1)x∈[0，

π

2

]=2cos²x-4λcosx-1=2（cosx-λ）²-2λ²-1，由于x∈[0，

π

2

]，所以cosx∈[0，1]．再由f(x)=

a

•

b

-2λ|

a

+

b

|(λ≤1)的最小值等于-

3

2

，能求出λ值及f（x）取得最小值-

3

2

時(shí)x的值．

解答：解：（1）∵向量

a

=(cos

3

2

x，sin

3

2

x)，

b

=(cos

x

2

，-sin

x

2

)，
且x∈[0，

π

2

]，
∴

a

•

b

=cos

3

2

xcos

x

2

-sin

3

2

x•sin

x

2

=cos2x，
|

a

+

b

|=

( a + b) 2

=

2+2cos2x

=

4cos2x

=2cosx．
（2）∵x∈[0，

π

2

]，
∴f(x)=

a

•

b

-2λ|(

a

+

b)

|=cos2x-4λcosx(λ≤1)
=2cos²x-4λcosx-1
=2（cosx-λ）²-2λ²-1，
∵x∈[0，

π

2

]，
∴cosx∈[0，1]，
當(dāng)λ＜0時(shí)，f(x)min=-1≠-

3

2

；
當(dāng)0≤λ≤1時(shí)，f(x)min=-2λ2-1=-

3

2

，λ=

1

2

．
此時(shí)cosx=

1

2

，x=

π

3

．
綜上λ=

1

2

，
f（x）取最小值-

3

2

時(shí)，x=

π

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量的綜合題，綜合性強(qiáng)，難度大，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．是高考的常見(jiàn)題型，易錯(cuò)點(diǎn)是忽視角的取值范圍．