Question

【題目】如圖，三棱柱中，平面，，，，，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn).

（Ⅰ）證明：平面；

（Ⅱ）是線段上一點(diǎn)，且直線與平面所成角的正弦值為，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）連結(jié)交于，連結(jié)，,可證得四邊形為平行四邊形，即，即得解；

（Ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系，可證得為直線與平面所成角，可得，分別求解平面，平面的法向量，利用二面角的向量公式，即得解.

（Ⅰ）連結(jié)交于，連結(jié)，

∵，，∴，.

又，，

∴，因此，四邊形為平行四邊形，即

∵面，面，∴平面

（Ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，過作，連結(jié)

∵面，面，∴

∵，，∴面

∵面，∴面面，

∵面，，面面，面，

即為直線與平面所成角，記為，，∴，

在中，，∴，

，，，，

設(shè)平面的法向量，

，取，

平面的法向量，

因此，二面角的余弦值