11.已知A,B是球O的球面上的兩點,∠AOB=$\frac{π}{2}$,C為該球球面上的動點,若三棱錐O-ABC體積的最大值為3,則球的體積為24π.

分析 當點C位于垂直于面AOB的直徑端點時,三棱錐O-ABC的體積最大,利用三棱錐O-ABC體積的最大值為3,求出半徑,即可求出球O的表面積.

解答 解:如圖所示,當點C位于垂直于面AOB的直徑端點時,三棱錐O-ABC的體積最大,設球O的半徑為R,此時VO-ABC=VC-AOB=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×{R}^{2}×R$=$\frac{1}{6}{R}^{3}$=3
∴R3=18,
則球O的體積為$\frac{4}{3}$πR3=24π.
故答案為:24π.

點評 本題考查球的半徑與表面積,考查體積的計算,確定點C位于垂直于面AOB的直徑端點時,三棱錐O-ABC的體積最大是關鍵.

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