Question

【題目】已知拋物線（）的焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，是拋物線上異于的兩點(diǎn).

（1）求拋物線的方程；

（2）若直線，的斜率之積為，求證：直線過軸上一定點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見詳解.

【解析】

（1）根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得以及拋物線方程；

（2）對直線的斜率進(jìn)行討論，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程，聯(lián)立拋物線方程，根據(jù)韋達(dá)定理，結(jié)合直線，的斜率之積為，找到直線之間的等量關(guān)系，從而證明問題.

（1）因?yàn)閽佄锞�（）的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，

所以，即.

所以拋物線的方程為.

（2）證明：①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，

設(shè)，.

因?yàn)橹本�，的斜率之積為，

所以，化簡得.

所以，，

此時(shí)直線的方程為.

②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，

設(shè)其方程為，，，

聯(lián)立方程組，消去得.

由根與系數(shù)的關(guān)系得，

因?yàn)橹本�，的斜率之積為，

所以，即.

即，

解得（舍去）或.

所以，即，

所以即

綜合①②可知，直線過定點(diǎn).