如圖,四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，∠ACB＝90°，平面PAD⊥平面ABCD，

PA=BC=1，PD=AB=,E、F分別為線段PD和BC的中點．

（Ⅰ） 求證：CE∥平面PAF；

（Ⅱ）在線段BC上是否存在一點G，使得平面PAG和平面PGC所成二面角的大小為60°？若存在，試確定G的位置；若不存在，請說明理由．

 

【答案】

（Ⅰ）先證明EC∥HF即可              （Ⅱ）存在

【解析】

試題分析：（1）取PA中點為H，連結CE、HE、FH，

因為H、E分別為PA、PD的中點，所以HE∥AD,,

因為ABCD是平行四邊形，且F為線段BC的中點 , 所以FC∥AD,

所以HE∥FC, 四邊形FCEH是平行四邊形 ,所以EC∥HF

又因為   

所以CE∥平面PAF.        

（2）因為四邊形ABCD為平行四邊形且∠ACB＝90°，

所以CA⊥AD ,又由平面PAD⊥平面ABCD可得 CA⊥平面PAD , 

所以CA⊥PA , 由PA=AD=1，PD=可知，PA⊥AD,                   

所以可建立如圖所示的平面直角坐標系A-xyz, 因為PA=BC=1，AB=所以AC="1" .     

所以.

假設BC上存在一點G，使得平面PAG和平面PGC所成二面角的大小為60°，

設點G的坐標為（1，a，0），    所以

設平面PAG的法向量為，

則令 所以，

又設平面PCG的法向量為，

則令所以 ，       

因為平面PAG和平面PGC所成二面角的大小為60°，所以

  所以又所以, 

所以線段BC上存在一點G，使得平面PAG和平面PGC所成二面角的大小為60°.

點G即為B點.

考點：直線與平面平行  二面角

點評：本題考查線面平行，考查面面角，考查學生的計算能力，正確作出面面角是關鍵．

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，
E是PC的中點．求證：
（Ⅰ）CD⊥AE；
（Ⅱ）PD⊥平面ABE．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD=2，側面PAD⊥底面ABCD，且△PAD為等腰直角三角形，∠APD=90°，M為AP的中點．
（1）求證：AD⊥PB；
（2）求三棱錐P-MBD的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，AB=2，BC=
2
，且側面PAB是正三角形，平面PAB⊥平面ABCD．
（1）求證：PD⊥AC；
（2）在棱PA上是否存在一點E，使得二面角E-BD-A的大小為45°，若存在，試求
AE
AP
的值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=1，AD=
3
，點F是PB中點．
（Ⅰ）若E為BC中點，證明：EF∥平面PAC；
（Ⅱ）若E是BC邊上任一點，證明：PE⊥AF；
（Ⅲ）若BE=
3
3
，求直線PA與平面PDE所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD，PA⊥平面ABCD，ABCD是直角梯形，DA⊥AB，CB⊥AB，PA=2AD=BC=2，AB=2
2
，設PC與AD的夾角為θ．
（1）求點A到平面PBD的距離；
（2）求θ的大�。划斊矫鍭BCD內有一個動點Q始終滿足PQ與AD的夾角為θ，求動點Q的軌跡方程．

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