如圖，四棱錐的底面是直角梯形，，，和是兩個(gè)邊長(zhǎng)為的正三角形，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)．

(Ⅰ)求證：平面；
(Ⅱ)求證：平面；
(Ⅲ)求直線與平面所成角的正弦值．
（Ⅰ）詳見解析；(Ⅱ) 詳見解析；(Ⅲ) 直線與平面所成角的正弦值為.

試題分析：（I）利用兩平面垂直的性質(zhì)定理，證明BC平面AEC,再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理證明AEBC,根據(jù)勾股定理證明AEEC，利用線面垂直的判定定理證明AE平面BCEF;（II）三棱錐體積利用體積轉(zhuǎn)換為以E為頂點(diǎn)，為底面的椎體體積求得.等體積轉(zhuǎn)化，是立體幾何經(jīng)常運(yùn)用的一種方法，高考也考過．
試題解析：（Ⅰ）證明：設(shè)為的中點(diǎn)，連接，則，∵，，，∴四邊形為正方形，∵為的中點(diǎn)，∴為的交點(diǎn)，∵， ，
∵，∴，，在三角形中，，∴，∵，∴平面；

(Ⅱ)方法1：連接，∵為的中點(diǎn)，為中點(diǎn)，∴，∵平面，平面，∴平面.方法2：由(Ⅰ)知平面，又，所以過分別做的平行線，以它們做軸，以為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由已知得：，，，，，，則，，，.∴∴∵平面，平面，∴平面；                              

(Ⅲ) 設(shè)平面的法向量為，直線與平面所成角，則，即，解得，令，則平面的一個(gè)法向量為，又
則，∴直線與平面所成角的正弦值為.
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

在如圖所示的幾何體中，四邊形是菱形，是矩形，平面⊥平面，，，，是的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：//平面；
（Ⅱ）在線段上是否存在點(diǎn)，使二面角的大小為？若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，、為圓柱的母線，是底面圓的直徑，、分別是、的中點(diǎn)，．

(1)證明：；
(2)證明：；
(3)求四棱錐與圓柱的體積比.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，平面四邊形的4個(gè)頂點(diǎn)都在球的表面上，為球的直徑，為球面上一點(diǎn)，且平面 ，，點(diǎn)為的中點(diǎn).
(1) 證明：平面平面；
(2) 求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

( 12分)如圖，在四棱錐中,側(cè)面是正三角形,底面是邊長(zhǎng)為2的正方形,側(cè)面平面為的中點(diǎn).

①求證：平面；
②求直線與平面所成角的正切值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

（本小題滿分14分）
如圖，已知正方體，是底對(duì)角線的交點(diǎn)．
求證：（１）面；
（2 ）面．
 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

a和b是兩條異面直線,下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是(  )
(1) 過不在a、b上的任一點(diǎn),可作一個(gè)平面與a、b都平行.
(2) 過不在a、b上的任一點(diǎn),可作一條直線與a、b都相交.
(3) 過a可以并且只可以作一個(gè)平面與b平行.
(4) 過不在a、b上的任一點(diǎn),可作一條直線與a、b都垂直.
A．1B．2C．3D．4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

平面外有兩條直線和，如果和在平面內(nèi)的射影分別是和，給出下列四個(gè)命題：① ② ③與相交與相交或重合 ④與平行與平行或重合，其中不正確的命題的個(gè)數(shù)是（     ）
A．4個(gè)B．3個(gè)C．2個(gè)D． 1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

對(duì)于空間的兩條直線，和一個(gè)平面，下列命題中的真命題是（ ）
A．若，，則B．若 ，，則
C．若，，則D．若， ，則

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