Question

（2012•四川）已知a為正實(shí)數(shù)，n為自然數(shù)，拋物線y=-x2+

an

2

與x軸正半軸相交于點(diǎn)A，設(shè)f（n）為該拋物線在點(diǎn)A處的切線在y軸上的截距．
（Ⅰ）用a和n表示f（n）；
（Ⅱ）求對(duì)所有n都有

f(n)-1

f(n)+1

≥

n

n+1

成立的a的最小值；
（Ⅲ）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，比較

1

f(1)-f(2)

+

1

f(2)-f(4)

+…+

1

f(n)-f(2n)

與6•

f(1)-f(n+1)

f(0)-f(1)

的大小，并說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)拋物線y=-x2+

an

2

與x軸正半軸相交于點(diǎn)A，可得A（

an 2

，0），進(jìn)一步可求拋物線在點(diǎn)A處的切線方程，從而可得f（n）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（n）=aⁿ，則

f(n)-1

f(n)+1

≥

n

n+1

成立的充要條件是aⁿ≥2n+1，即知，aⁿ≥2n+1對(duì)所有n成立，當(dāng)a=3，n≥1時(shí)，aⁿ=3ⁿ=（1+2）ⁿ≥1+2

C

1 n

=2n+1，當(dāng)n=0時(shí)，aⁿ=2n+1，由此可得a的最小值；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知f（k）=a^k，證明當(dāng)0＜x＜1時(shí)，

1

x-x2

＞6x，即可證明：

1

f(1)-f(2)

+

1

f(2)-f(4)

+…+

1

f(n)-f(2n)

＞6•

f(1)-f(n+1)

f(0)-f(1)

．

解答：解：（Ⅰ）∵拋物線y=-x2+

an

2

與x軸正半軸相交于點(diǎn)A，∴A（

an 2

，0）
對(duì)y=-x2+

an

2

求導(dǎo)得y′=-2x
∴拋物線在點(diǎn)A處的切線方程為y=-

2an

(x-

an 2

)，∴y=-

2an

x+an
∵f（n）為該拋物線在點(diǎn)A處的切線在y軸上的截距，∴f（n）=aⁿ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（n）=aⁿ，則

f(n)-1

f(n)+1

≥

n

n+1

成立的充要條件是aⁿ≥2n+1
即知，aⁿ≥2n+1對(duì)所有n成立，特別的，取n=1得到a≥3
當(dāng)a=3，n≥1時(shí)，aⁿ=3ⁿ=（1+2）ⁿ≥1+2

C

1 n

=2n+1
當(dāng)n=0時(shí)，aⁿ=2n+1
∴a=3時(shí)，對(duì)所有n都有

f(n)-1

f(n)+1

≥

n

n+1

成立
∴a的最小值為3；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知f（k）=a^k，下面證明：

1

f(1)-f(2)

+

1

f(2)-f(4)

+…+

1

f(n)-f(2n)

＞6•

f(1)-f(n+1)

f(0)-f(1)

首先證明：當(dāng)0＜x＜1時(shí)，

1

x-x2

＞6x
設(shè)函數(shù)g（x）=6x（x²-x）+1，0＜x＜1，則g′（x）=18x（x-

2

3

）
當(dāng)0＜x＜

2

3

時(shí)，g′（x）＜0；當(dāng)

2

3

＜ x＜1時(shí)，g′（x）＞0
故函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，1）上的最小值g（x）_min=g（

2

3

）=

1

9

＞0
∴當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g（x）＞0，∴

1

x-x2

＞6x
由0＜a＜1知0＜a^k＜1，因此

1

ak-a2k

＞ 6ak，
從而

1

f(1)-f(2)

+

1

f(2)-f(4)

+…+

1

f(n)-f(2n)

=

1

a-a2

+

1

a2-a4

+…+

1

an-a2n

＞6（a+a²+…+aⁿ）=6×

a-an+1

1-a

=6•

f(1)-f(n+1)

f(0)-f(1)

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓錐曲線的綜合，考查不等式的證明，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，綜合性強(qiáng)，屬于中檔題．