【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx﹣ x2 , g(x)= x2+x,m∈R,令F(x)=f(x)+g(x). (Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅱ)若關(guān)于x的不等式F(x)≤mx﹣1恒成立,求整數(shù)m的最小值;
(Ⅲ)若m=﹣1,且正實(shí)數(shù)x1 , x2滿足F(x1)=﹣F(x2),求證:x1+x2 ﹣1.
【答案】解:(Ⅰ)f(x)的定義域?yàn)椋簕x|x>0}, f′(x)= ﹣x= ,(x>0),
由f′(x)>0,得:0<x<1,
所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1).
(Ⅱ)F(x)=f(x)+g(x)=lnx﹣ mx2+x,x>0,
令G(x)=F(x)﹣(mx﹣1)=lnx﹣ mx2+(1﹣m)x+1,
則不等式F(x)≤mx﹣1恒成立,即G(x)≤0恒成立.
G′(x)= ﹣mx+(1﹣m)= ,
①當(dāng)m≤0時(shí),因?yàn)閤>0,所以G′(x)>0
所以G(x)在(0,+∞)上是單調(diào)遞增函數(shù),
又因?yàn)镚(1)=ln1﹣ m×12+(1﹣m)+1=﹣ m+2>0,
所以關(guān)于x的不等式G(x)≤0不能恒成立,
②當(dāng)m>0時(shí),G′(x)=﹣ ,
令G′(x)=0,因?yàn)閤>0,得x= ,
所以當(dāng)x∈(0, )時(shí),G′(x)>0;當(dāng)x∈( ,+∞)時(shí),G′(x)<0,
因此函數(shù)G(x)在x∈(0, )是增函數(shù),在x∈( ,+∞)是減函數(shù),
故函數(shù)G(x)的最大值為:
G( )=ln ﹣ m× +(1﹣m)× +1= ﹣lnm,
令h(m)= ﹣lnm,因?yàn)閔(m)在m∈(0,+∞)上是減函數(shù),
又因?yàn)閔(1)= >0,h(2)= ﹣ln2<0,所以當(dāng)m≥2時(shí),h(m)<0,
所以整數(shù)m的最小值為2.
(Ⅲ)m=﹣1時(shí),F(xiàn)(x)=lnx+ x2+x,x>0,
由F(x1)=﹣F(x2),得F(x1)+F(x2)=0,即lnx1+ +x1+lnx2+ +x2=0,
整理得: +(x1+x2)=x1 x2﹣ln(x1 x2),
令t=x1x2>0,則由φ(t)=t﹣lnt,得:φ′(t)= ,
可知φ(t)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增,
所以φ(t)≥φ(1)=1,
所以 +(x1+x2)≥1,解得:x1+x2≤﹣ ﹣1,或x1+x2≥ ﹣1,
因?yàn)閤1 , x2為正整數(shù),所以:x1+x2≥ ﹣1成立
【解析】(Ⅰ)先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),從而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(Ⅱ)令G(x)=F(x)﹣(mx﹣1)=lnx﹣ mx2+(1﹣m)x+1,則不等式F(x)≤mx﹣1恒成立,即G(x)≤0恒成立,通過討論G(x)的單調(diào)性,從而求出m的范圍;(Ⅲ)將m=﹣1代入函數(shù)表達(dá)式,得到關(guān)于x1 , x2的方程,令t=x1x2>0,則由φ(t)=t﹣lnt,通過討論函數(shù)的單調(diào)性,從而證出結(jié)論.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù),需要了解一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)在內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個(gè)最大值,最小的是最小值才能得出正確答案.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在某中學(xué)舉行的電腦知識(shí)競(jìng)賽中,將高一年級(jí)兩個(gè)班參賽的學(xué)生成績(jī)進(jìn)行整理后分成五組,繪制如圖所示的頻率分布直方圖.已知圖中從左到右的第一,第三,第四,第五小組的頻率分別是0.30,0.15,0.10,0.05,第二小組的頻數(shù)是40.
(1)補(bǔ)齊圖中頻率分布直方圖,并求這兩個(gè)班參賽學(xué)生的總?cè)藬?shù);
(2)利用頻率分布直方圖,估算本次比賽學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)和中位數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在某次測(cè)驗(yàn)中,有6位同學(xué)的平均成績(jī)?yōu)?5分.用xn表示編號(hào)為n(n=1,2,…,6)的同學(xué)所得成績(jī),且前5位同學(xué)同學(xué)的成績(jī)?nèi)绫恚?
n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
x0 | 70 | 76 | 72 | 70 | 72 |
(1)求第6位同學(xué)的成績(jī)x6及這6位同學(xué)成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差s;
(2)若從前5位同學(xué)中,隨機(jī)地選2位同學(xué),求恰有1位同學(xué)成績(jī)?cè)趨^(qū)間[68,75)中的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下面給出了2010年亞洲某些國(guó)家的國(guó)民平均壽命單位:歲.
國(guó)家 | 平均壽命 | 國(guó)家 | 平均壽命 | 國(guó)家 | 平均壽命 |
阿曼 | 阿富汗 | 59 | 巴基斯坦 | ||
巴林 |
| 阿聯(lián)酋 | 馬來西亞 | ||
朝鮮 | 東帝汶 | 孟加拉國(guó) | |||
韓國(guó) | 柬埔寨 | 塞浦路斯 | |||
老撾 | 卡塔爾 | 沙特阿拉伯 | |||
蒙古 | 科威特 |
| 哈薩克斯坦 | ||
緬甸 | 菲律賓 | 印度尼西亞 | |||
日本 | 黎巴嫩 | 土庫(kù)曼斯坦 | 65 | ||
泰國(guó) | 尼泊爾 | 68 | 吉爾吉斯斯坦 | ||
約旦 | 土耳其 | 烏茲別克斯坦 | |||
越南 | 75 | 伊拉克 | 也門 | ||
中國(guó) | 以色列 | 文萊 | |||
伊朗 | 74 | 新加坡 | 敘利亞 | ||
印度 |
根據(jù)這40個(gè)國(guó)家的樣本數(shù)據(jù),得到如圖所示的頻率分布直方圖,其中樣本數(shù)據(jù)的分組區(qū)間為:,,,,,請(qǐng)根據(jù)上述所提供的數(shù)據(jù),求出頻率分布直方圖中的a,b;
請(qǐng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)思想,利用中的頻率分布直方圖估計(jì)亞洲人民的平均壽命及國(guó)民壽命的中位數(shù)保留一位小數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列有關(guān)線性回歸分析的四個(gè)命題:
①線性回歸直線必過樣本數(shù)據(jù)的中心點(diǎn)();
②回歸直線就是散點(diǎn)圖中經(jīng)過樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)最多的那條直線;
③當(dāng)相關(guān)性系數(shù)時(shí),兩個(gè)變量正相關(guān);
④如果兩個(gè)變量的相關(guān)性越強(qiáng),則相關(guān)性系數(shù)就越接近于.
其中真命題的個(gè)數(shù)為( 。
A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一口袋中裝有大小相同的2個(gè)白球和4個(gè)黑球,每次從袋中任意摸出一個(gè)球 .
(1)采取有放回抽樣方式,從中摸出兩個(gè)球,求兩球恰好顏色不同的概率;
(2)采取不放回抽樣方式,從中摸出兩個(gè)球,求摸得白球的個(gè)數(shù)的均值和方差.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖是2017年第一季度五省GDP情況圖,則下列陳述中不正確的是( 。
A. 2017年第一季度總量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1個(gè)
B. 與去年同期相比,2017年第一季度五個(gè)省的總量均實(shí)現(xiàn)了增長(zhǎng)
C. 去年同期河南省的總量不超過4000億元
D. 2017年第一季度增速由高到低排位第5的是浙江省
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】四棱錐,底面為平行四邊形,側(cè)面底面.已知,,,為線段的中點(diǎn).
(1)求證:平面;
(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.
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