Question

（本小題滿分15分）如圖，斜三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，A₁C₁⊥BC₁，AB⊥AC，AB=3，AC=2，側(cè)棱與底面成60°角．
（1）求證：AC⊥面ABC₁；
（2）求證：C₁點在平面ABC上的射影H在直線AB上；
（3）求此三棱柱體積的最小值．

Answer 1

（1）由棱柱性質(zhì)，可知A₁C₁//AC，∵A₁C₁BC₁， 
∴ACBC₁，又∵ACAB，∴AC平面ABC₁
（2）由（1）知AC平面ABC₁，又AC平面ABC，∴平面ABC平面ABC₁，
在平面ABC₁內(nèi)，過C₁作C₁HAB于H，則C₁H平面ABC，故點C₁在平面ABC上
的射影H在直線AB上.
（3）3.

（1）由棱柱性質(zhì)，可知A₁C₁//AC，∵A₁C₁BC₁， 
∴ACBC₁，又∵ACAB，∴AC平面ABC₁
（2）由（1）知AC平面ABC₁，又AC平面ABC，∴平面ABC平面ABC₁，
在平面ABC₁內(nèi)，過C₁作C₁HAB于H，則C₁H平面ABC，故點C₁在平面ABC上
的射影H在直線AB上.
（3）連結(jié)HC，由（2）知C₁H平面ABC， ∴∠C₁CH就是側(cè)棱CC₁與底面所成的角，
∴∠C₁CH=60°，C₁H=CH·tan60°=
V_棱柱=
∵CAAB，∴CH，所以棱柱體積最小值3.